< Попер   ЗМІСТ   Наст >

Складені пуассонівський та від'ємний біноміальний розподіли

Припустимо, що число позовів v має розподіл Пуассона із середнім X:

X"

пп = Р(у = п) =-е"х,п = 0,1, 2, .... Генератриса цього розлогі!

ділу дорівнює

*М"ІУ к=е^ ІҐо пі

Розподіл величини сумарного позову 5 = У1 +... + Уу називається складеним пуассонівським розподілом.

Перетворення Лапласа величини 3 можна одержати з (26.3) при п(г) = ехр(Хг-Х):

і|/(в) = М^ = еХф(,)- (26.7)

де ф(") = Ме"'у - перетворення Лапласа величини поданого індивідуального позову. Таким чином, невід'ємна випадкова величина 5 має складений пуассонівськоє розподіл, якщо її перетворення Лапласа у (в) представлене у вигляді (26.7), де ф(а) - перетворення Лапласа деякої невід'ємної випадкової величини У.

Параметр X початкового пуассонівського розподілу пп, і розподіл Р(х) індивідуального позову У називаються параметрами складеного пуассонівського розподілу.

Якщо індивідуальні позови У( мають дискретний розподіл рп з генератрисою g(z)9 то складений пуассонівський розподіл також є дискретним і його генератриса Є (з) визначається згідно з (26.4) як

G(z) = Mzs х*(а) (26.8)

Для математичного сподівання та дисперсії складеного пуассонівського розподілу із загальних формул (26.5), (26.6) і формул Mv = Dv = X для пуассонівського розподілу маємо

MS = X-MY, DS = XMY2. Зазначимо, крім того, наступний результат для третього центрального моменту M(S~MS) = X-MY*.

Величина -L___?^l_ є кількісною мірою асиметрії. Якщо

вона дорівнює нулю, то розподіл розглядають як симетричний, якщо вона від'ємна (додатна), то щільність величини S має скіс вліво (вправо) щодо центру. Додатна симетрія означає відносно значну ймовірність великих значень позову.

Оскільки МУ8>0 для додатних випадкових величин, то сумарний позов у моделі складеного пуассонівського розподілу завжди має позитивну асиметрію (навіть якщо індивідуальні позови мають нульову або від'ємну асиметрію).

Слід зазначити деякі важливі властивості складеного пуассонівського розподілу:

1. Припустимо, що випадкові величини SltS2 - незалежні й мають складений пуассонівський розподіл з параметрами Xl.Fl (x);X2,F2(x); ... відповідно. Припустимо, що ряд

^ Xt <+оо - збігається; ця умова заздалегідь виконана, якщо

і=і

число доданків скінченне. Тоді їх сума S = St+S2+... також має складений пуассонівськський розподіл і його параметри XtF(x) задаються формулами

х-£х,.*<*)-І£*,<*)і

І"1 1=1 л.

Доведення цього твердження можна знайти у праці Г.1. Фа-ліна1. Доведену властивість можна інтерпретувати в термінах моделі колективного ризику. Припустимо, що є декілька незалежних груп договорів страхування. Надходження позовів від і-ї групи за аналізований проміжок часу описується пуассо-нівською величиною з середнім Xlt а величина позову, що подається, має розподіл Ft (х). Тоді, якщо об'єднати всі договори в одну велику групу, то надходження позовів від цього сумарного портфеля характеризуватиметься розподілом Пуассона з середнім Х = А,, + Х2 + а величина позову, що подається, ма-

тиме розподіл F(x), що є середнім з вагами - значенням роз-

X

поділів Ft(x).

2. Припустимо, що випадкова величина S має складений пуассонівськоє розподіл з параметрами X і F(x), Розподіл величини позову, що подається, представлений у вигляді суміші з вагами рх, р2, ... (величини pt - невід'ємні й у сумі дають 1) розподілів Ft(x):

'(*)-Јjv4(*>

Тоді S збігається за розподілом із сумою незалежних випадкових величин S,, S2, кожна з яких має складений пуас-сонівський розподіл з параметрами Xt = Xpt та Ft (х), і = 1, 2, ....

Властивість 2 дає змогу розбивати портфель договорів зі складним розподілом величин позовів, що подаються, на декілька незалежних портфелів з простішими розподілами величин позовів, що подаються. Для цих простих портфелів можна підрахувати розподіл величини сумарного позову і потім за допомогою згорток визначити розподіл величини сумарного позову (а отже, і ймовірність банкрутства) для початкового портфеля.

Найефективнішим методом точного розрахунку розподілу Рп = P(S = ті) складеного пуассонівського розподілу з дискретним розподілом рп величини поданих позовів, є використання рекурентної формули

^=-2>Л-,. (26.9)

При А.->+со для складеного пуассонівського розподілу справедливе гауссівське наближення, тобто

, yfDS ) 72лі

Припустимо тепер, що кількість позовів v має від'ємний біноміальний розподіл з параметрами р і а, тобто (див. (22.2))

TC=P(V = H)

а(а + 1)...(а + л-1)

с>в,п = 0,1,2,

де Я = 1-р.

У цій ситуації розподіл величини сумарного позову 5 = У, +... + Уу називається складеним від'ємним біноміальним розподілом. Перетворення Лапласа величини £ можна одержати з формул (26.3)

/ _ Vх

i|/(s) = Me

вЗ

(26.10)

де ф(в) = Ме -індивідуального

/

71(2) =

Д-дф(в);

перетворення Лапласа величини поданого позову. Тут було використано, що

Таким чином, невід'ємна випадкова величина S має складений від'ємний біноміальний розподіл, якщо її перетворення Лапласа |/(з) має вигляд (26.10), де ф(в) -перетворення Лапласа деякої невід'ємної випадкової величини У.

Параметри р і а початкового від'ємного біноміального розподілу тсп і розподіл F(x) індивідуального позову У називаються параметрами складеного від'ємного біноміального розподілу.

Якщо індивідуальні позови У( мають дискретний розподіл рп з генератрисою £(2), то складений від'ємний біноміальний розподіл також є дискретним і його генератриса визначається згідно з (26.4) як

Для математичного сподівання та дисперсії складеного від'ємного біноміального розподілу із загальних формул (26.5), (26.6) і формул для Му і 2)у (підрозділ 22.3) маємо

MS = ^-MY,

(26.11)

DS=^-(MY)2 Р

aq

Р

Зазначимо, крім того, центрального моменту

DY =--MY2 + Щ- o (МУ)2. (26.12)

Р Р

, подальший результат для третього

М(5-Я5)а = ^МУ2 +^1-МУ-МУ2 + і^-.(МУ)3. Р Р Р

Важливо підкреслити, що (як і для складеного пуассонівського розподілу) в цій моделі сумарний позов завжди має невід'ємну асиметрію (навіть якщо індивідуальні позови мають нульову або від'ємну асиметрію).

Справедливе твердження: кожен складений від'ємний біноміальний розподіл можна розглядати як складений пуассонівський розподіл з певним чином підібраними параметрами1.

Тому складений від'ємний біноміальний розподіл має ті ж спеціальні властивості, що і складений пуассонівський розподіл. Проте, оскільки зв'язок параметрів обох видів розподілів дуже складний, ці властивості не виглядають так само природно, як і відповідні властивості складеного пуассонівського розподілу. Єдиним винятком є така рекурентна формула для розрахунку розподілу Рп сумарного позову, аналогічна формулі (26.9):

де р1 - розподіл величини позовів, що подаються.

При а -> +оо для складеного від'ємного біноміального розподілу справедливе гауссівське наближення.

Також для складеного від'ємного біноміального розподілу справедливе гамма-наближення при р -> 0:

итр(^) = -}:--'Г^є^г,

р->° ^Мв , 2аГ(а) і тобто граничним виступає гамма-розподДл з параметрами 0,5 і а.

Якщо 2а - ціле число, то гамма-розподіл є відомим х2*роз-поділом з 2а степенями свободи. Це можна використовувати при реальних розрахунках.

Приклад 26.2. Розглядається страхова компанія, яка займається страхуванням ремонту автомобілів. Річна кількість аварій описується від'ємним біноміальним розподілом із середнім 20 і дисперсією 100. Середня вартість ремонту автомобіля - 1500 грн. Треба оцінити величину резервного фонду компанії, достатню, щоб забезпечити ймовірність банкрутства на рівні 5 %.

Знайдемо параметри від'ємного біноміального розподілу:

Му 20 1 р-Му -,а = --

2)у 100 М5 = Му o МУ

^-5 4 ~5,

Тоді Р(8>и) = Р

  • (2а5 2аиЛ
  • 5 д
  • 20 1500 = ЗО 000 грн.

РІ

х2(Ю)>^1

х2(Ю)>

Юи

30 000

= 0.05.

З таблиці х2-розподілу1 при /є = 10 і 1-а = 0,05, знаходимо значення квантиля т2.. тобто Р (х* (&) > х" )= 1 - а, маємо

Хо,95

  • 18,3. Тоді
  • 10ц
  • 30 000

= 18,3 і и = 54 900 грн.

Висновки

  • 1. У моделі колективного ризику весь портфель укладених угод страхування розглядається як єдине ціле, без розрізнення окремих угод, які його складають.
  • 2. При підрахунку ймовірності банкрутсва у моделі колек-тивого ризику потрібно знаходити розподіл суми випадкового числа випадкових величин. Можливе використання точних та наближених методів розрахунку ймовірності банкрутства для моделі колективого ризику.
  • 3. Для обчислення розподілу суми незалежних випадкових величин зручно застосовувати спеціальні функції: генератри-си (для дискретних величин) та перетворення Лапласа (для довільних додатних величин).
  • 4. Складені пуассонівський та від'ємний біноміальний розподіли найбільш адектватно описують ймовірнісні розподіли, які виникають у моделі колективного ризику.

б. Для складеного від'ємного біноміального розподілу справедливе гамма-наближення за малих значень параметра р.

Навчальний тренінг

Основні терміни і поняття

Модель колективного ризику; імовірність банкрутства; генератриса; перетворення Лапласа; складений пуассонівський розподіл; складений від'ємний біноміальний розподіл; гамма-наближення, розподіл.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >