< Попер   ЗМІСТ   Наст >

Параметричні критерії відмінностей для двох сукупностей

Головною ознакою, що дозволяє робити висновок про відмінності між двома сукупностями, є ступінь розбіжності їх вибіркових середніх. Оцінка цього розходження може бути виконана за тим же принципом, що й оцінка відмінностей між двома відносними частотами.

Середня квадратична помилка вибіркового середнього х за даними п спостережень пов'язана із середнім квадратичним відхиленням величини х співвідношенням

Середня квадратична помилка відмінності а між двома середніми х і у визначається за формулою

п1, п2 - обсяги першої та другої вибірок.

Очікуване значення величини а відповідно до нульової гіпотези вважається таким, що дорівнює нулю.

При більшому обсязі вибірок розподіл величини сі близький до нормального, а величини ах і ау можна умовно замінити їх вибірковими значеннями стх* і ст*:

? И |х - у|

У цьому випадку визначається нормоване відхилення 2 = -¡-¡- = 1--р-, а за

таблицею Додатку А.1 знаходять відповідну йому вірогідність р. При малих значеннях величини р = 1 - Р (менше ніж 5%, а в окремих випадках - менше 1%) розходження між двома середніми слід визнати суттєвим.

Приклад. Середнє значення і середнє квадратичне відхилення кількості правильно виконаних завдань тесту для однієї групи учнів (п1) склали х = 24 і ах = 5, а для другої групи (п2) відповідно у = 28 і а*у = 7. Потрібно з'ясувати, чи можна вважати розходження між середніми значеннями правильно виконаних завдань випадковими.

1. Визначаємо вибіркові значення середніх квадратичних помилок т* і т* та наближене значення величини тИ :

" " 24 - 28

  • 2. Знаходимо 2 = '-1 = 2,56.
  • 1,564
  • 3. За таблицею Додатку А.1 для 2 = 2,56 знаходимо Р = 0,99. Через те, що величина р = 1 - Р = 0,01 мала, робимо висновок про те, що отримане розходження між середніми значеннями частоти не випадкове.

При малих значеннях п1 і п2 прийняття умови тИ = тл може внести в оцінку значну похибку. У цьому випадку оцінка розходження двох вибіркових середніх здійснюється за допомогою показника

Величина ї має розподіл Стьюдента з числом ступеней свободи

п = п1 + п2 - 2. (6.51)

Визначивши значення ї і п, за таблицею Додатку А.2 знаходять відповідну їм вірогідність р. В залежності від того, мала чи значна ця вірогідність, роблять висновок про суттєві чи несуттєві розходження між середніми.

Приклад. Оцінити розходження між середніми за наведеними у попередньому прикладі вибірковими характеристиками, вважаючи, що вони отримані при п1 = 5 і п2 =8.

1. Визначаємо показник і:

2. Визначаємо число ступенів вільності показника і:

п = 5 + 8 -2 =11.

3. За таблицею Додатку А.2 для ї = 1,025 при п = 11 знаходимо: р = 0,33. Через те, що ця вірогідність не мала, отримане розходження між середніми у даному випадку можна віднести за рахунок випадкового характеру помилок.

При порівняння середніх для двох пов'язаних сукупностей, коли кожному члену однієї із сукупностей відповідає певний член іншої сукупності, завдання може суттєво спроститись. Визначивши для кожної пари спостережень різницю Зі = хі - у,-, розраховують середнє значення різниць 8 і середнє квадратичне відхилення ст*. Потім, прийнявши а = 3 і т*Л = а54п , де п - обсяг кожної вибірки, визначають нормоване відхилення

після чого за допомогою таблиць інтегралу вірогідностей (за великих п) або розподілу Стьюдента (для п = п-1) знаходять необхідну для оцінки вірогідність

р.

Другою важливою ознакою, за якою можуть порівнюватись дві сукупності, є величина дисперсії у кожній з них. Для оцінки розходження дисперсіями розглядається відношення їх незміщених оцінок:

Якщо величина егх2 визначена по п1, а величина сту2 - по п2 вимірювань, то при нормальному розподілі значень х і у показник Б підпорядковується так званому розподілу Фішера з п1 =п1 -1 і п2 =п2 -1 ступенями вільності. Граничні значення Б, що відповідають вірогідності перевищення р=5%, наведені в таблиці Додатку А.6.

Розходження між дисперсіями слід вважати суттєвими, якщо відношення однієї з них до іншої перевищує деяке граничне значення Бгр , яке відповідає досить малій вірогідності нульової гіпотези р1. Така подія може статися в одному з двох випадків:

Тому якщо у формулі (6.53) розглядати величину стх2 як більшу з двох дисперсій і порівнювати показник Б з граничною величиною Бгр , знайденою за таблицею Додатку А.6, то нерівність Б > Бгр буде відповідати вірогідності виконання нульової гіпотези р1, яка дорівнює не р, а 2р. У випадку Б < Бгр розбіжності міє дисперсіями не можна визнати достовірними.

Приклад. Дисперсія показників сформованості компонентів знань у 15 учнів експериментальної групи складає 14,5, а у 18 учнів контрольної групи - 8,0. Потрібно оцінити, чи є істотною відмінність в отриманих дисперсіях.

1. За формулою (6.53) визначаємо показник відношення дисперсій

2. За таблицею Додатку А.6 для п1 = 15 - 1 = 14 і п2 = 18 - 1 = 17 знаходимо Б05 = 2,33. Через те, що Б05 < Б, відмінність між дисперсіями слід визнати суттєвою з вірогідністю, котра дорівнює 1 - 2-0,05, тобто 0,90.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >