Множинна кореляція

Процес, що характеризується залежностями між трьома, чотирма і більше змінними, вивчають методами множинної кореляції. Розглядаючи одну із змінних (у) як функцію, а інші (и, V, ..., ї) як аргументи, можна визначити середні значення у для будь-якої сукупності значень и, V, ..., ї і скласти рівняння множинної регресії:

У випадку кореляції між трьома змінними рівняння регресії геометрично зображується у вигляді деякої поверхні, навколо якої більше чи менше розсіяні дослідні точки.

Подібно до парної кореляції загальну дисперсію змінної у, що розглядається як функція, можна подати у вигляді суми систематичної аг-(и^ п і випадкової о-уу складових:

Тоді відношення

буде називатися множинним кореляційним відношенням у по и, V, ... і ґ.

Як і при парній кореляції, множинне кореляційне відношення знаходиться у межах від 0 до 1. При г| = 1 залежність у і и, V, ... , ґ є функціональною. При г| = 0 йде мова про відсутність кореляції між у і и, V, ... , ґ. Стосовно до кореляції трьох змінних поверхня регресії у цьому випадку буде площиною з рівнянням у = С, яка паралельна до координатної площини (и, V).

В особливо важливому для практики випадку, коли рівняння множинної регресії є лінійним, множинне кореляційне відношення т]. перетворюється в множинний, або сукупний, коефіцієнт кореляції /? У . Сукупний коефіцієнт гі,р....,£ кореляційного зв'язку з коефіцієнтами кореляції для кожної пари змінних певними співвідношеннями. Зокрема, для лінійної кореляції величини у з величинами и, V таке співвідношення має вигляд

Сукупний коефіцієнт кореляції /? У і коефіцієнти парної кореляції між у і кожною з величин и, V пов'язані співвідношеннями:

Якщо при вивченні кореляції трьох змінних знайдені коефіцієнти кореляції між кожною парою з них, з'являється можливість виключити одну з цих змінних, тобто визначити кореляцію двох інших змінних за умови, що ця змінна залишається незмінною. Коефіцієнти кореляції, що характеризують отримані при цьому залежності, називаються частковими коефіцієнтами кореляції. Коли кожній із трьох змінних надати відповідно номери 1, 2, 3, то загальну формулу для визначення часткових коефіцієнтів кореляції можна подати у такому вигляді:

де г12(3) - частковий коефіцієнт кореляції між між змінними 1 і 2 при виключенні змінної 3;

г12, г13, г23 - загальні коефіцієнти кореляції між кожною парою змінних.

Приклад. Коефіцієнти парної кореляції між трьома експериментальними величинами - у, и і V - складають: гуи = 0,40; гу" = 0,20, ги" = 0,80. Потрібно визначити сукупний коефіцієнт кореляції показника у за показниками и, V і часткові коефіцієнти кореляції між у, и при виключенні V і між у, V при виключенні и.

Сукупний коефіцієнт кореляції ,буде дорівнювати

Часткові коефіцієнти кореляції тиМу) і гу"(и) визначаються за допомогою формули (6.95):

Як видно з прикладу, частковий коефіцієнт кореляції для двох змінних може не тільки значно відрізнятися за величиною від відповідного загального коефіцієнта кореляції, але навіть мати інший знак.

Порядкова (рангова) кореляція

Існують ознаки, котрі не підлягають безпосередньому кількісному оцінюванню. Але вони мають ряд якісних градацій, які дозволяють порівнювати між собою окремі об'єкти за ступенем виразності цієї ознаки. Такі ознаки можна вважати якісними. Прикладами якісних ознак можуть бути.

Якщо одна з двох або обидві ознаки, що характеризують дану сукупність, є якісними, розглянуті раніше методи кореляційного аналізу непридатні для оцінювання залежності між ними. В таких випадках можуть стати корисними методи так званої порядкової чи рангової кореляції. Вона полягає в наступному.

Розташувавши об'єкти даної сукупності в порядку зростання однієї з двох ознак, утворюють ранжований ряд об'єктів за цією ознакою. Порядкові номери об'єктів в ранжованому ряду називають їх рангами. Наприклад, якщо ранжувати.

Подібним чином можна скласти ранжований ряд і знайти ранги об'єктів за другою ознакою.

Співставляючи для кожного об'єкта сукупності ранги за першою та другою ознаками, можна встановити показники зв'язку між ними, які будуть мати назву коефіцієнтів рангової кореляції. Щоб знайти ці коефіцієнти, попередньо ранжують об'єкти за однією з ознак, і навпроти їхніх рангових номерів записують рангові номери, котрі могли мати окремі об'єкти при ранжуванні за другою ознакою.

Якщо в групі наявні об'єкти, що не мають відмінностей між собою за даною ознакою, то кожній парі, та ін. таких об'єктів присвоюють середній ранг, котрий має дорівнювати середньому арифметичному із тих рангів, які могли мати ці об'єкти при наявності відмінностей між ними.

Методи рангової кореляції доцільно застосовувати при невеликій кількості спостережень і значній кількості якісних градацій ознаки. Завдяки простому математичному апарату цих методів їх застосовують і для орієнтовного оцінювання зв'язків між кількісними ознаками.

Найчастіше рангову кореляцію визначають за допомогою коефіцієнтів кореляції Спірмена і Кендела. Перший з них є простішим у користуванні.

Для знаходження коефіцієнта рангової кореляції Спірмена р5 потрібно:

• 1) ранжувати наявні дані за однією з ознак;
• 2) визначити для кожної пари експериментальних даних ранги за другою ознакою;
• 3) знайти різниці рангів за першою і другою ознаками для кожної пари спостережень;
• 4) отримані різниці звести в квадрат і знайти суму отриманих значень;
• 5) визначити коефіцієнт рангової кореляції за формулою:

де Е (х - у)2 - сума квадратів різниці рангів; п - число пар спостережень.

Якщо коефіцієнт рангової кореляції Спірмена р5 визначений для кількісних показників, розподілених за нормальним законом, статистична оцінка для дійсного коефіцієнта кореляції г може бути знайдена за допомогою співвідношення

Значущість отриманого коефіцієнта кореляції оцінюється за допомогою критерія

За таблицею Додатку А.2 визначається вірогідність р, що відповідає отриманому значенню ґ і числу ступенів вільності п - 2. Коли ця вірогідність досить мала, знайдений коефіцієнт р5 слід визнати значущим.

Якщо п < 30, значимість коефіцієнта рангової кореляції може бути оцінена за допомогою таблиці Додатку А.7.

Приклад. Знайти коефіцієнт рангової кореляції Спірмена за даними вибірки (табл. 6.28) і оцінити його значущість.

Таблиця 6.28. Експериментальні показники дослідження

1. Ранжуються дані пари спостережень у порядку зростання величини х (стовпчики 1 і 2 в таблиці 6.29). Порядкові номери, котрі отримують ці пари, будуть рангами значень х.

Таблиця 6.29. Ранжування експериментальних показників дослідження

2. Визначаються ранги окремих значень у, розташувавши їх у порядку зростання (табл. 6.30).

Таблиця 6.30. Ранжування експериментальних показників дослідження

• 3. Записуються ранги х і у в табл. 6.29 навпроти відповідних значень цих величин (стовпчики 3 і 4).
• 4. Визначаються різниці рангів значень х і у, квадрати і сума квадратів різниць. Результати розрахунків заносяться в таблицю 6.29 (стовпчики 5 і 6).
• 5. За формулою (6.96) обчислюється коефіцієнт рангової кореляції Спірмена

За таблицею Додатку А.7 оцінюється значимість отриманого коефіцієнта кореляції р5 = 0,624 (при п = 10 вірогідність р = 0.04). Це дозволяє зробити досить надійний висновок про наявність середнього ступеня позитивного кореляційного зв'язку між величинами х і у.

Приклад. Порівняти оцінки за досліджувані навчальні компоненти, які встановив дослідник, з оцінками експертів (див. табл. 6.31).

Таблиця 6.31. Середні оцінки, які дав дослідник і експерт за виконання контрольного завдання

Визначається сума квадратів різниць між оцінками дослідника і експерта:

У цьому випадку коефіцієнт рангової кореляції Спірмена буде дорівнювати:

Отримане значення коефіцієнта дає підстави зробити висновок про те, що між оцінками дослідника і оцінками експерта існує тісний прямий зв'язок, а значить, дослідник має всі підстави вважати оцінки експерта об'єктивними відповідно критеріям, яких додержується дослідник.

Щоб ґрунтовніше оцінити кореляційний зв'язок іноді застосовують коефіцієнт рангової кореляції Кендела. Для його знаходження, як і у випадку коефіцієнта Спірмена, спочатку необхідно ранжувати об'єкти за однією з ознак у порядку її зростання і визначити відповідні ранги за другою ознакою. Наступні розрахунки відбуваються у такій послідовності:

• 1) для кожного рангу другого ряду встановлюється число наступних рангів, більших за величиною, ніж взятий ранг, і визначається сума цих чисел <2;
• 2) для кожного рангу другого ряду встановлюється число наступних рангів, менших за величиною, ніж взятий ранг, і визначається сума цих чисел Я;
• 3) знаходиться різниця 5 = <2 - Я ;
• 4) розраховується коефіцієнт рангової кореляції Кендела

За досить великої кількості спостережень (виключаючи значення, близькі до одиниці), коефіцієнт рангової кореляції Кандела приблизно в 1,5 раза менший за коефіцієнт Спірмена.

Значущість коефіцієнта рангової кореляції Кандела, як і коефіцієнта Спірмена, оцінюється за допомогою критерія і, причому в даному випадку

а число ступенів свободи п = п - 2.

Якщо п < 10, значимість коефіцієнта рангової кореляції Кендела може бути оцінена за допомогою таблиці Додатку В.8.

Приклад. За даними попереднього прикладу знайти коефіцієнт рангової кореляції Кендела і оцінити його значимість.

Ранжування об'єктів за величиною х і визначення відповідних рангів величини у виконано у попередньому прикладі. Наступний розрахунок виконуємо поетапно.

• 1. Визначається величина <2. Кількість рангів у 4-му стовпчику табл. 6.29, що перевищують ранг 1 (перший рядок таблиці), дорівнює 9. Кількість рангів, що знаходяться нижче другого рядка і перевищують ранг 3, дорівнює 7. Кількість наступних рангів, що перевищують ранг 2 (третій рядок), дорівнює 7 і т.ін. Результатом стає £> = 9 + 7 + 7 + 2 + 5 + 2 + 0 + 0 + 1 = 33.
• 2. Подібно до величини <2 визначається величина К. Кількість рангів у 4-му стовпчику табл. 6.29, менших за ранг 1, дорівнює 0. Кількість наступних рангів, менших від рангу 3 (другий рядок таблиці), дорівнює 1. Для решти рангів ці числа дорівнюють відповідно 0, 4, 0, 2, 3, 2 і 0. Таким чином, К = 0 + 1 + 0 + 4 + 0 + 2 + 3 + 2 + 0 = 12.
• 3. Визначається величина 5:

4. За формулою ( ) розраховується коефіцієнт рангової кореляції Кендела

Оцінка значимості отриманого значення рк виконується за допомогою таблиці Додатку А.8. Для Б = 21 і п = 10 відповідно р = 0,036. Це означає, що знайдене значення рк свідчить про наявність кореляційного зв'язку між величинами х і у.

Розглянуті приклади застосування методів математичної статистики для аналізу процесу навчання і виховання можуть бути успішно використані дослідниками для кількісної оцінки багатьох педагогічних процесів і явищ. Разом з тим слід зазначити, що застосовувати зазначені методи доцільні в комплексі з методами якісного аналізу із тим щоб одержати якнайповнішу характеристику досліджуваних процесів. якості процесів навчання і засвоєння знань, вмінь і навичок.

Таким чином, методи математичної статистики доцільно використовувати при вивченні найрізноманітніших сторін педагогічних процесів і явищ. Однак вибір цих методів і результати дослідження повною мірою залежать від спроможності експериментатора в першу чергу знайти правильні підходи до якісного аналізу експериментальних даних, які вже потім можуть викликати необхідність певного математичного підтвердження.