< Попер   ЗМІСТ   Наст >

Статистичні методи встановлення зв'язків між явищами

Сутність кореляції

У педагогічних дослідженнях нерідко стає дуже важливим виявити причинно-наслідкові зв'язки між двома різними змінними, наприклад, між засвоєнням матеріалу двох предметів, циклів предметів тощо.

Діалектичне розуміння розвитку припускає, що кожний предмет, кожне явище формуються під впливом не тільки необхідних, істотних, але і випадкових, несуттєвих факторів. Між випадковими величинами може існувати тільки зв'язок особливого роду, при якому зміна одного параметра викликає зміну іншого. Такий зв'язок називається стохастичним або кореляційним. На відміну від функціональної залежності, при якій одній із взаємопов'язаних величин відповідає одне конкретне значення іншої, кореляційний зв'язок означає, що деякому значенню однієї сукупності може відповідати декілька значень іншої сукупності, які зазвичай точно не визначені.

Серед досліджуваних у педагогіці характеристик випадковими можуть бути: кількість помилок, що допускаються учнями; час, витрачений на виконання якогось завдання; оцінки, отримані учнями (у деякій мірі це умовний параметр) та багато іншого.

Між зазначеними параметрами існує стохастичний зв'язок. Крім нього є також випадкові зв'язки, наявність яких залежить від умов одержання даних.

Кореляція буває повною (завершеною) або частковою, але вона може бути і відсутньою.

Одним з основних показників стохастичного зв'язку є коефіцієнт кореляції г, що служить кількісним вираженням цього зв'язку.

Повну кореляцію прийнято позначати 1(г=1), часткову - 0<г<±1; відсутність кореляції - 0(г=0).

Знак коефіцієнта кореляції (±) показує, який зв'язок існує між досліджуваними процесами, явищами - прямий чи зворотній. Якщо г=+1, то це означає, що існує пряма повна кореляція, тобто збільшення одного з двох параметрів викликає збільшення й іншого. Значення коефіцієнта кореляції г= -1 вказує на повну зворотну кореляцію - в цьому разі при збільшенні одного з двох параметрів зменшується інший. Коефіцієнти кореляції в межах 0< г < ±1 означають існування зв'язку, причому щільність зв'язку визначається абсолютним значенням коефіцієнта, а характер кореляції знаком коефіцієнта.

Коефіцієнти кореляції (розміри рангового порядку) можуть оцінюватися і порівнюватися. Тому окремо узятий коефіцієнт кореляції може бути відносно низьким, середнім або високим.

При інтерпретації величини коефіцієнта кореляції звичайно вважають, що коефіцієнт від 0 до ± 0,20 означає незначний ступінь кореляції (прирівнюється до 0); від ± 0,20 до ± 0,40 - низький ступінь кореляції; від ± 0,40 до ± 0,70 - яскраво виражену кореляцію; від ± 0,70 до ± 1,00 - високу або дуже високий ступінь кореляції.

Коефіцієнти кореляції г=+1 і г= -1 у педагогічних дослідженнях практично не зустрічаються.

Слід зазначити, що коефіцієнт кореляції не дає підстав робити висновки про причини чи умови зв'язків. Він лише показує і підтверджує, що між певними явищами існує взаємний зв'язок, але не з'ясовує, чи зумовлене друге явище першим, перше другим, або перше і друге зумовлене третім.

Лінійна кореляція

Графічне зображення кореляційного зв'язку між величинами х і у називають лінією регресії, а відображувана цією лінією функція у = у (х) - функцією регресії у на х. Коли обидві функції регресії у = у (х) і х = х (у), що характеризують кореляційну залежність між величинами у і х, мають лінійний характер, то така залежність носить назву лінійної кореляції. Лінії регресії, котрі відповідають лінійній кореляції, є прямими, і їх називають прямими регресії.

Рівняння прямої регресії у на х у загальному випадку має вигляд

у = Ах + В. (6.56)

Якщо за результатами експерименту отримані п пар дослідних значень, то найбільш вірогідні сні значення коефіцієнтів А і В відповідно до методу найменших квадратів будуть дорівнювати:

Отримані рівності також можна подати у вигляді

де х , у, ху і х2 - середні арифметичні значення величин х, у, ху і х2. При необмеженому збільшенні числа дослідних точок п формули наберуть вигляду:

де М - математичне очікування відповідних величин; Бх = а1і - дисперсія величини х.

Отриманий за формулою кутовий коефіцієнт А називають коефіцієнтом регресії у на х і позначають р,. Таким чином, рівняння регресії у на х з

урахуванням виразу можна записати у вигляді:

Так само можна записати рівняння регресії х на у:

Тіснота зв'язку між величинами у і х, що відповідає ступеню наближення дослідних точок до прямих регресії, визначається величиною коефіцієнта кореляції

де ах, ау - середні квадратичні відхилення величин х і у.

Чисельник наведеного виразу є кореляційним моментом між величинами х і у, залежить від одиниць, у яких виражають х і у, і тому сам по собі не може бути показником зв'язку.

Коефіцієнт кореляції гху лежить в межах від -1 до +1 і характеризує ступінь наближення залежності між величинами х і у до лінійної функціональної залежності, котрій відповідають граничні значення коефіцієнта кореляції ±1. Якщо гху > 0, наявна позитивна кореляція, яка означає, що при зростанні однієї з величин друга так само дещо зростає. У випадку гху < 0 має місце від'ємна кореляція, коли при зростанні однієї з величин друга має тенденцію дещо зменшуватися.

У разі відсутності статистичного зв'язку між величинами х і у коефіцієнт кореляції гху = 0, тому що в цьому випадку М (ху) = М (х ) М (у). Але протилежне твердження слід вважати неправомірним. При гху = 0 величини х і у все таки можуть знаходитися в тісному кореляційному зв'язку, якщо лінії регресії значно відрізняються від прямих. Сюди відносяться, зокрема, випадки, коли лінії регресії мають вісь симетрії, паралельну до однієї з координатних осей х або у.

Скориставшись коефіцієнтом кореляції гху стає можливим вирази () і () для коефіцієнта регресії подати у вигляді:

звідки

З формул (6.67) і (6.68) видно, що коефіцієнти регресії мають той самий знак, що і коефіцієнт кореляції. Коефіцієнти ву/х і вх/у утворюють пару спряжених коефіцієнтів регресії.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >