< Попер   ЗМІСТ   Наст >

Інтенсивність смертності

Використовуючи формулу (24.3), отримаємо щільність ймовірності смерті після досягнення віку х. Підставимо у формулу (24.3)2 = *+ Ах

Р(х<Хїх + Ах/Х>х) = Р*ІХ + ^)-Р*іх)*М^. (24.12)

У цьому виразі Fx(x) = fx(x) - щільність неперервної ви-

f(x)

падкової величини X, "вік у момент смерті". Функція --

(1-.?(*)..

у формулі (24.12) може інтерпретуватися в термінах умовної щільності. Для кожного віку х вона дає значення в точці х умовної функції щільності випадкової величини X за умови дожиття до віку х і позначається через і(х). Тоді

MW-T^ff^- <2413)

l-Fx(x) s(x)

З властивостей функцій fx(x) і 1-F(x) маємо, що ц(д:)>0.

У актуарній науці і в демографії и(х) називається інтенсивністю смертності. У теорії надійності, яка досліджує ймовірності безвідмовної роботи механізмів і систем, ця величина називається інтенсивністю відмов.

Як і функція дожиття, інтенсивність смертності може використовуватися для визначення розподілу випадкової величини X. З формули (24.13) для будь-якого додатного у маємо рівність для диференціалів

-u(y)dy = dlns(y). Інтегруючи цей вираз від х до х + п, одержимо

Х+П / v

f / j і s(x + n) , - І u(y)dy = ln--L = nPx.

Тоді

x+n

вр, = ехр{- x(y)dy). (24.14)

x

Іноді зручно переписати формулу (24.14), зробивши заміну t = у - х:

п

прх =ехр{- ji(x+t)dt}. (24.16)

о

Зокрема ми змінимо позначення з тим, щоб вони відповідали використаним у формулі (24.6), поклавши вік осіб, що вже жили, таким, що дорівнює 0, і позначивши вік дожиття через х. Тоді одержимо

X

хРо = s(x) = ехр{- Ju(r)d*}. (24.16)

о

Крім того,

Рх (*) = 1 - а(х) = 1 - ехр{- |ц(г)Л} (24.17)

о

і

х

(*) = ехр{-|ц(0Л>Ц<*)=, Ро И". (24.18) о

Нехай іг(Ж)(г) і позначають відповідно функцію роз-

поділу і щільність Т(х), тривалості майбутнього життя особи (х). Помітимо, що 2^,(0 =і Ч" (див. позначення (24.4)). Таким чином,

/Т(х,(0=-Г иЯх)= - 1--=

йІ ОХ . 8(Х) .

, , У (24.19)

а(х+г)[ 8'(х+*))

8{х) у в(л;+г)>

Отже, ірхл(х + І)йЧ є ймовірністю того, що особа (х) помре у

віці між гИ + йЬ. Очевидно, що ІіРжи(х+*)Л = 1.

о

Формулу (24.19) можна подати у такому вигляді:

~а-А)-~(А)-.^*+*). (24.20)

Оскільки Ііт,,^ прх=0, маємо Ііт^^-Іп прх) = -ко. Таким чином,

х+л

Ііт ( и(і/)гіі/ = +оо.

л->оо * X

Використовуючи наступну формулу теорії ймовірностей Р(А^В)=Р(А)+Р(А)Р(В/ А), де А - доповнення до події А, отримаємо корисну формулу. Нехай А = {Г(дс)^г}, £ = {*<Т(х)£1},0<г<1. Тоді Р(АиВ)=Р(Т(х)й1)=Яя, і)(А)=Ід"аР(В/А)=и дж+г

Отже, дх = Ід" + <рх1_Ідж+<.

x

Таблиці смертності

Таблиця смертності містить розташовані за віком індивідуумів значення основних функцій dx і, можливо, додаткових функцій, які можна отримати з них. Перш ніж навести таку таблицю, розглянемо інтерпретацію таких функцій, яка безпосередньо пов'язана з ймовірнісними функціями, що обговорювалися в попередньому розділі.

Згідно з формулою (24.9) умовна ймовірність того, що особа (х) помре протягом г років, обчислювалась так:

8(Х + І)

*?*=1-ІГТ~

s(x)

і, зокрема,

s(x + l)

ах=1--7~Г'

s(x)

Розглянемо тепер групу з 10 новонароджених, поклавши, наприклад, ^=100000.

Для кожного новонародженого випадкова величина "вік у момент смерті" має розподіл, заданий функцією дожиття $(х). Позначатимемо через Цх) кількість осіб у групі, що дожили до віку х. Припишемо всім особам в групі номери / = 1,2,..., і помітимо, що

де /, - індикатор дожиття особи з номером ], тобто

Ґ1, якщо особа з номером j доживе до віку X, ' 10, інакше.

k

Оскільки Jkf[/j] = e(x), то M[L(x)]=Јm[//] = /0s(x).

Нехай lx = M[L(x)]. Тобто Іх - математичне сподівання кількості осіб, що дожили до віку х з /0 новонароджених, і

K = k s(x). (24.21)

Далі, в припущенні, що індикатори Ij взаємно незалежні, L(x) має біноміальній розподіл з параметрами п = Іь і p~s{x).

Зазначимо, проте, що в рівнянні (24.21) не використовувалося припущення про незалежність.

Аналогічно позначимо через " Лх кількість померлих у віці між х і х + п з початкової сукупності, що складається з людей. Нехай пгів яЛ^["І)Я1. Оскільки для новонародженого ймовірність смерті у віці між х і х + п дорівнює 5(дг)-а(ж + л), використовуючи міркування, що наводилися вище щодо Іх отримаємо

"^ = М["І),]=і0[5(х)-8(лс + л)]=Іх-І"". (24.22)

Якщо п = 1, то опустимо лівий нижній індекс у виразах "І)я і пйх. З формули (24.21) видно, що

і аі* - 1 " йх~

Іх ах з(х) dx -dlx =lxi(x)dx.

(24.23) (24.24)

Оскільки

Співмножник Іхх(х) у (24.24) можна інтерпретувати як очікувану щільність смертей у віковому інтервалі 9 x + dx). Зазначимо, що

/х=4,-ехр

**+"=**-ехр

о

с+л

(24.25) (24.26) (24.27)

Для зручності посилань назвемо групу з ^ новонароджених, кожен з яких має функцію дожиття з(х), сукупністю випадкового дожиття.

Нижче наведено таблицю смертності населення Тернопільської області віком до 10 років1 (табл 24.1). Функції $х, dx та о/л в цій таблиці представлені для ^ =100000. Подібні таблиці не створюються на основі спостереження за 100 000 новонароджених аж до смерті останнього з них, а ґрунтуються на оцінках

ймовірності смерті за умови дожиття до різного віку на основі даних про смертність населення у відповідні роки. Ілюстративні таблиці смертності наведені в деяких роботах1. Зробимо деякі зауваження щодо таблиці.

  • 1. Очікується, що близько 1 % новонароджених, які входять до сукупності дожиття, помруть на першому році життя.
  • 2. До віку 10 років доживе більше 98 % із групи новонароджених.
  • 3. Відносне збільшення кількості смертей очікується для віку 4, 7 та 10 років.
  • 4. Хоча значення Іх було округлено до цілих чисел, відповідно до формули (24.21) це робити не обов'язково.

Таке представлення, як у цій таблиці, є стандартним методом опису розподілу віку в момент смерті. Іншим способом є представлення функції дожиття в аналітичній формі, наприклад в(л:) = е-еж, с>0, х> 0. Однак більшість досліджень смертності для потреб страхування використовує вираз 8(х) =-.

Оскільки величина 100 000 б(х) представлена лише для цілих значень Ху при обчисленні в(х) для нецілих значень аргументу необхідно використовувати інтерполяцію.

Приклад 24.1. Використовуючи таблицю, обчислити ймовірність того, що особа у віці трьох роки:

  • 1) доживе до віку 10 років;
  • 2) помре, не доживши до віку 8 років;
  • 3) помре між 6 та 9 роками.

Згідно з формулою (24.8), ймовірність того, що особа віком трьох років доживе до 10 років, дорівнює £&0)=к=^ 5.

  • 8(3) /з 98 458 Згідно з формулою (24.9), ймовірність того, що особа віком З роки не доживе до віку 8 років, дорівнює *3)-*(8иА = 1_98258
  • 8(3) /з 98458

Згідно з формулою (24.10), ймовірність того, що особа віком 3 роки помре між 6 та 9 роками, дорівнює

в(6)-в(9) ^-^ 98341-98230

=0,0011

в(3) і, 98 458

Перейдемо тепер до другої, неймовірнісної, інтерпретації таблиць смертності. Вона за природою детерміністична і приводить до поняття сукупності детермінованого дожиття, або когорти.

Сукупність детермінованого дожиття, як видно з таблиці смертності, має такі характеристики:

  • o спочатку складається з ^ осіб віку 0;
  • o для членів сукупності в будь-якому віці діють фактичні річні коефіцієнти смертності (вибуття), які визначаються величинами дх в таблиці смертності;
  • o сукупність є замкнутою. До неї не може входити ніхто, крім тих ¿0 осіб, які були в ній на самому початку. Вихід із цієї сукупності обумовлений фактичними річними коефіцієнтами смертності (вибуття) і лише ними.

З наведених вище характеристик маємо

А =*о(1-?.)Ч-<*о.

*г=1| (!-",)=*,-<*, =4-(4,+<*.).

='х-. (1-?.-.)=^, -<*,-, = *> "і/*"

і,=о

*о у=о ,

(24.28)

де Іх позначає число осіб, що дожили до віку х у сукупності дожиття. Число ¿0 називається коренем таблиці смертності. Ці рівності можна переписати так:

*2=кРі=0"Ро)Рі*

К=К-уРх-1

Пл

  • (24.29)
  • 720

Між сукупністю детермінованого дожиття і моделлю складних відсотків є аналогія, деякі положення якої підсумовуються в табл. 24.2.

Таблиця 24.2. Поняття теорії складних відсотків і відповідні їм поняття в теорії сукупностей детермінованого дожиття

Заголовки до стовпців табл. 24.1 для Іх*оІхх9 рх належать до сукупності детермінованого дожиття. Хоча математичні основи для сукупностей випадкового і детермінованого дожиття різні, функції Іх, <іх, 5Х, рх мають однакові математичні властивості і аналізуються однаково. Поняття сукупності випадкового дожиття має перевагу в тому, що воно дає змогу користуватися усім апаратом теорії ймовівностей. Сукупність детермінованого дожиття концептуально простіша і її легше використовувати, хоча вона не відображає випадкових коливань чисельності тих, хто дожив до певного віку.

Далі отримаємо вирази для основних числових характеристик розподілів випадкових величин Т(х) і К(х) і виведемо загальний метод обчислення деяких з цих характеристик.

Математичне сподівання Т(х), що позначається через ех, називається повною очікуваною тривалістю життя. Використовуючи формулу (24.20), отримаємо

00

ех = Аї [Т( х)] = j* o ,pjix+t)d t =

  • 0 (24.30)
  • 00 00

= f*4(-,a)-*-(-,p,)t +*-,Р***-

0 0

З існування M[T(x)] випливає співвідношення Mmt-(-tpx) = 0. Таким чином,

І-мо

Z = ),P,dt- (24.81)

0

Повна очікувана тривалість життя у різному віці часто використовується для порівняння рівнів охорони здоров'я країн.

Аналогічно підраховується другий момент:

00 00

М[Т(дс)г] = іг ■ ,рхіх(х+t)dt = 2 tPldt.

0 0

Тоді дисперсія дорівнює

Л[Г(*)] = М[Г(*)1]-(М[Г(*)])2 =2j* ,P,dtMx)

о * '

Медіану тривалості майбутнього життя особи {х)9 яка позначається через т(х), можна знайти як розв'язок рівняння

р(г(х)>т(*))4 або *("*у> Л 2 s(*) 2

відносно m(x). У конкретному випадку тп(0) є розв'язком рівняння s(m(0)) = l/2.

Модою розподілу випадкової величини Т(х) буде те значення t, за якого значення функції tpxu(x+t) буде максимальним.

Математичне сподівання випадкової величини К(х) позначається через ех. Ця величина називається покроковою очікуваною тривалістю життя. Ті числові характеристики дорівнюють:

■*" 00 00 00

ех = M[K]=^k-kPxq"k = Y,4kpx - Mpa) = Y,^iPx=Y,kPx

*=0 *=0 *=0 h 1

М[ЛГ(*)2] = £*2 o кр,д", = £(2Л+1)- мРг =£(2Л-1)- ,р,;

*=0 *=0 я=1

ВД = М[ЛГЇ]-(М [А"])' = ¿(2/8-1) іЛ -4.

Символ Ьх означає загальну очікувану кількість років, прожитих між віком х та х + 1 особами з цієї групи, що містить /0 новонароджених, які дожили до віку х. Тоді

  • 00
  • 0

де інтеграл у правій частині дорівнює числу років, прожитих тими, хто помер у віковому інтервалі між х та х +1, а Іх+1 дорівнює числу років, прожитих у віковому інтервалі між х та х + 1 тими, хто дожив до віку х + 1. Інтегрування частинами дає і і і

ь" - - * o +Ь + +'"і =

0 0 0

Функція Ьх також використовується при визначенні вікового коефіцієнта смертності в інтервалі між х і х + 1, який позначається через тх, де

і

т _ 0 _ *х *дг+1

0

Наведені вище визначення для тх і Ьх можна поширити на вікові інтервали довжиною більшою від одиниці.

п п

"ьх=- і імі(х+ті+п ■ і"я=імйі,

о

п

[і^ріх+фЛ о

Для сукупності випадкового дожиття пЬх є загальною очікуваною кількістю років, прожитих у віковому інтервалі між хіх + п для осіб, що дожили до віку х з вихідної групи, що містить /о новонароджених, а птх є віковим коефіцієнтом смерт

0

п

m =4--=л

ності, що можна спостерігати для цієї групи на інтервалі (х, х + п).

Символ Тх означає загальну кількість років, прожитих після досягнення віку х особами, що дожили до цього віку з вихідної групи, яка має ^ новонароджених. Маємо

  • 00 00 00
  • 0 0 0

Останній вираз можна інтерпретувати як інтеграл від загального часу, прожитого між віком х + гіх + * + Л групою з Іх+і осіб, що дожили до цього вікового інтервалу. Звернемо також увагу, що Тх є межею величини ЛЬХ> коли п прямує до нескінченності.

Середня кількість років майбутнього життя для Іх осіб з групи, що дожили до віку х, визначається виразом

т }"* -г o

*дс *х 0

відповідно до формул (24.30) і (24.31).

Знайдемо вираз для середньої кількості років, прожитих між віками х і х + п групою з Іх осіб, що дожили до віку х:

я

т Jх+< т -Т

і " / " І -}*Р*'

іх іх ьх 0

Ця функція є зрізаною (на п -річному інтервалі) повною

очікуваною тривалістю життя для осіб (х) і позначається о

Через ЄхЯ.

Останньою функцією, пов'язаною з інтерпретацією таблиці смертності, є середня кількість років, прожитих між віком X та х +1 тими особами в групі, що дожили до віку х, які вмирають у деякий момент між цими віками. Ця функція позначається через а(х) і визначається співвідношенням

і

а(ж)-*,-.

іхии(х + і)(іі о

За ймовірніснісного погляду на таблиці смертності отримали б і

/*'іАЦ(*+*)Л а(х)=±1-= М[Т/Т<1].

о

Якщо припустити, що Іх+і х(х + ї)сІЇ = х(Іі, 0 < £ < 1, тобто моменти смерті рівномірно розподілені всередині річного вікового інтервалу, то отримаємо

а(х)= ]*<** = -.

о *

Це звичайне наближення функції а(х), придатне для осіб різного віку, окрім зовсім юних і дуже старих, де це припущення може не відповідати дійсності.

Справедлива рівність Ьх =а(х)Іх +

Деякі аналітичні закони смертності

У табл. 24.3 наводяться кілька сімейств простих аналітичних функцій смертності й дожиття, що відповідають різним відомим законам. Для зручності посилань наведені назви законів, що лежать у їхній основі, і дати публікації.

Зазначимо такі факти:

o спеціальні символи визначаються формулами т =-,

и~-;

+ т "

o закон Гомперца є контактним випадком закону Мейке-

ма при А = 0;

  • o якщо с = 1 у законах Гомперца й Мейкема, то отримаємо експонеціальний (постійна інтенсивність смертності) розподілу;
  • o доданок А у законі Мейкема не залежить від віку і відповідає смертності від нещасних випадків, у той час як доданок Всх описує вплив віку на смертність (старіння) і в цьому сенсі відповідає смертності від "природних" причин.

Таблиця 24.3. Функції смертності й дожиття для різних розподілів

Нижче зібрано основні поняття, згадані в цьому розділі, відповідні терміни, позначення й описи (табл. 24.4).

Таблиця 24.4. Основні позначення розділу 24

Закінчення табл. 24.4

Висновки

  • 1. У цьому розділі розглянуто основні моделі тривалості життя. Основними елементом цих моделей є тривалість майбутнього життя.
  • 2. Роглянуто основні ймовірностні характеристики моделі тривалості життя: функція дожиття, ймовірності смерті, по-крокова тривалість майбутнього життя.
  • 3. Важливою характеристикою моделі тривалості життя є інтенсивність смертності.
  • 4. Незамінним компонентом багатьох моделей актуарної математики є таблиці смертності.
  • 5. Між сукупністю детермінованого дожиття і моделлю складних відсотків є аналогія.
  • 6. У законах смертності Гомперца й Мейкема найчастіше використовуються в моделях тривалості життя.

Навчальний тренінг

Основні терміни і поняття

Тривалість майбутнього життя; функція дожиття; покро-кова тривалість майбутнього життя; інтенсивність смертності; таблиці смертності; сукупність випадкового дожиття; сукупність детермінованого дожиття; корінь таблиці смертності; повна очікувана тривалість життя; покрокова очікувана тривалість життя; віковий коефіцієнт смертності; зрізана повна очікувана тривалість життя; закони смертності; закон Гомперца; закон Мейкема.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >