< Попер   ЗМІСТ   Наст >

Асимптотические ряды и разложения

Приходится удивляться, что приближенное решение уравнений с использованием метода разложения по малому параметру не входит в стандартные курсы математического анализа.

Малый параметр обычно обозначают буквой е / До каких значений (е "с 1) можно считать малым, -наиболее острый вопрос.

Мюррей Гелл-Манн, лауреат Нобелевской премии: "На деле всякий теоретик в своей собственной работе полагает какие-то параметры малыми, а затем нападает на других, поступающих так же, обвиняя их в неестественности".

Пример: два ряда п - е члены которых пропорциональны: 1)

Формально 1-й ряд сходится и быстро, его миллионный член всего 1/999999; 2-й ряд расходится.

Пуанкаре: "астрономы наоборот (получив приближенное решение в виде таких рядов, с конечным числом членов) будут считать 1-й ряд расходящимся, т.к. первые 1000 членов ряда возрастают; а 2-й - сходящимся, т.к. первые 1000 его членов убывают.

Для того, чтобы найти сумму ряда

, необходимо около 140 слагаемых, причем, прежде чем ап станут достаточно маленькими и перестанут изменять сумму, их значения вырастут до величины ~ 1042 (см. рис. 3.2.1). Рассмотрим теперь два ряда, для х <С 1

и

Первый ряд

- разложение по малому параметру х <С 1, его сумма тем точнее задает функцию, чем больше N. Ряд при N ®¥ сходится.

Второй ряд при N ®¥ расходится, и как нас учат в стандартных курсах математического анализа пользоваться им не имеет смысла.

Поведение ап и bп при росте п

Рис. 3.2.1 - Поведение ап и bп при росте п

На практике происходит все наоборот. Не смотря на сходимость ряда 51 (х, N) пользоваться им исключительно неудобно, число членов ряда должно быть (см. рис. 3.2.2) не менее 20 . Что же касается второго ряда 52 (х, N), то при х"1 уже при малых значениях N сумма перестает расти.

Ниже приводятся примеры асимптотических рядов для двух функций.

Функция / (х) задана интегралом:

Необходимо получить поведение /(х) при х" 1 .

Разлагаем

в ряд по степеням

Жюль Анри Пуанкаре (1854 - 1912)

Зависимость суммы радов

Рис. 3.2.2 - Зависимость суммы радов

Подставляя это разложение в интеграл находим:

и

Этот ряд, конечно, расходится т.е. эта сумма равна бесконечности. Тем не менее, его можно использовать. Для этого представим это сумму в виде двух слагаемых - усеченного ряда и остатка:

Можна показать, что

т.е. эта замена ї(х) усеченным на N -ом члене рядом дает ошибку, не превышающую первого отброшенного члена, а именно N +1 -го. Таким образом, при фиксированном N и х"1 (х®°°) ошибка ^ ® 0 (как угодно мала) и ї (х) можно представить в виде асимптотического ряда

Андрианов И. В., Баранцев Р. Г., Маневич Л. И. Асимптотическая математика и синергетика: путь к целостной простоте. - М.: Эдиториал УРСС, 2004.

Андрианов И. В., Маневич Л. И. Асимптотология: идеи, методы, результаты. - М.: Аслан, 1994.

В рассмотренном примере малым параметром является что дает, например, для

на десятом шаге ошибку что вполне приемлемо для многих приближенных расчетов. Если же малый параметр еще в десять раз меньше є = 0.01, то погрешность становится ничтожной

Теперь можно кратко сформулировать различие между разложением по малому параметру и асимптотическим разложением. В случае разложения по малому параметру предельный переход в сумме от п = 0 до N имеет вид: - конечно,

а для асимптотического ряда

ε→0, N - конечно. (3.2.10)

Приведем второй пример, разложение функции Бесселя нулевого порядка

при (малый параметр Асимптотическое разложение имеет вид

где

Ряды и (х) и V(х) расходятся, однако как видно из рис. 3.2.3 уже первые несколько членов ряда прекрасно описывают J0 (х) при х> 1, т.е. при малом параметре порядка единицы.

Функция Бесселя нулевого порядка: промежутке - точное значение, 2 – асимптотическое разложение; б - на промежутке сплошная линия - точное значение и асимптотическое разложение

Рис. 3.2.3. Функция Бесселя нулевого порядка: промежутке - точное значение, 2 – асимптотическое разложение; б - на промежутке сплошная линия - точное значение и асимптотическое разложение

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >