< Попер   ЗМІСТ   Наст >

Дельта-функция Дирака

Дельта функция (5-функция) была введена английским физиком П. А. М. Дираком "по необходимости", когда он создавал математический аппарат квантовой механики. Математики некоторое время "не признавали" ее, после чего создали теорию обобщенных функций, частным случаем которых является δ-функция.

Согласно (наивному) определению δ-функция равна нулю всюду кроме одной точки, но при этом площадь охватываемая этой функцией равна единице:

Эти противоречивые

требования не могут быть удовлетворены функцией "обычного" типа.

Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. -М.: Наука, 1982.

На самом деле, как дифференциал δх не есть число (равное нулю), а словосочетание "бесконечно-малая величина" трудно понимаемо качественно, правильно понимать δх не как число, а как предел (процесс), так же δ-функцию правильно понимать как предел (процесс). На рис. 3.7.1 и 3.7.2 изображено несколько функций (зависящих от параметра), пределом которых и является δ-функция. Таких функций бесконечно много - каждый может выбрать свою.

δ-функция обладает многими полезными свойствами, являясь, в частности, континуальным аналогом символ Кронекера δкк

сравните с

Еще одно удивительное соотношение указывает как можно продифференцировать проинтегрировав:

где 8 - производная 8- функции.

Два последовательных приближения к δ-
функции Дирака. Изображена функция

Рис. 3.7.1 - Два последовательных приближения к δ-

функции Дирака. Изображена функция

- Две функции, которые в пределе а —>∞ дают δ-функции:

Рис. 3.7.2 - Две функции, которые в пределе а —>∞ дают δ-функции:

Наконец заметим, что интервал от δ-функции:

где в(х) - функция Хевисайда,

ступенька, с разрывом в точке x = 0 .

Фазовые переходы

Для того чтобы говорить о фазовых переходах, необходимо определить, что такое фазы. Понятие фаз встречается во множестве явлений, поэтому вместо того, чтобы давать общее определение (чем оно более общее, тем оно, как и положено, более абстрактное и ненаглядное), приведем несколько примеров.

Вначале пример их физики. Для обычной, наиболее часто встречаемой в нашей жизни жидкости - воды известно три фазы: жидкая, твердая (лед) и газообразная (пар). Каждая из них характеризуется своими значениями параметров. Существенно то, что при изменении внешних условий одна фаза (лед) переходит в другую (жидкость). Еще один любимый объект теоретиков -ферромагнетик (железо, никель и множество других чистых металлов и сплавов). При низких температурах (для никеля ниже Т= 3600 С) образец из никеля является ферромагнетиком, при снятии внешнего магнитного поля он остается намагниченным, т.е. может использоваться как постоянный магнит. При температуре выше Тс это свойство теряется, при выключении внешнего магнитного поля он переходит в парамагнитное состояние и не является постоянным магнитом. При изменении температуры происходит переход - фазовый переход - из одной фазы в другую.

Приведем еще один геометрический пример из теории перколяции. Случайно вырезая из сетки связи, в конце концов, когда концентрация оставшихся связей - р станет меньше некоторого значения рс, по решетке уже нельзя будет пройти "из одного конца в другой". Таким образом, сетка из состояния протекания - фаза "протекания", перейдет в состояние фазы "непротекания".

Из этих примеров ясно, что для каждой из рассмотренных систем существует так называемый параметр порядка, определяющий в какой из фаз находится система. В ферромагнетизме параметр порядка - намагниченность в нулевом внешнем поле, в теории перколяции - связность сетки, или, например, ее проводимость или плотность бесконечного кластера.

Фазовые переходы бывают разного рода. Фазовый переходы I рода - это такой переход, когда в системе может одновременно существовать несколько фаз. Например, при температуре 0° C лед плавает в воде. Если система находится в термодинамическом равновесии (нет подвода и отвода тепла), то лед не тает и не нарастает. Для фазовых переходов II рода существование одновременно нескольких фаз невозможно. Кусочек никеля либо находится в парамагнитном состоянии, либо в ферромагнитном. Сетка со случайно вырезанными связями либо связна, либо нет.

Решающим в создании теории фазовых переходов II рода, начало которой положил Л.Д. Ландау, было введение параметра порядка (будем обозначать его г]) как отличительного признака фазы системы. В одной из фаз, например, парамагнитной, г] = 0, а в другой, ферромагнитной, г ^ 0. Для магнитных явлений параметр порядка ] - это намагниченность системы.

Для описания фазовых переходов вводится некоторая функция параметров, определяющих состояние системы -G(n, T,...). В физических системах это энергия Гиббса. В каждом явлении (перколяция, сеть "малых миров" и т.д.) эта функция определятся "самостоятельно". Главное свойство этой функции, первое предположение Л.Д. Ландау - в состоянии равновесия эта функция принимает минимальное значение:

В физических системах говорят о термодинамическом равновесии, в теории сложных цепей можно говорить об устойчивости. Заметим, что условие минимальности определяется варьированием параметра порядка.

Второе предположение Л.Д. Ландау - при фазовом превращении п = 0. Согласно этому предположению, функцию б(п,Т,...) вблизи точки фазового перехода можно разложить в ряд по степеням параметра порядка п :

где п = 0 в одной фазе (парамагнитной, если речь идет о магнетизме и несвязной, если о сетке) и п ^ 0 в другой (ферромагнитной или связной).

Из условия

находим:

что дает нам два решения

Для Т > Тс должно иметь место решение п = 0, а для Т < Тс решение п ^ 0. Этому можно удовлетворить, если для случая Т > Тс и п = 0 выбрать А > 0 . В этом случае второго корня не существует. А для случая Т < Тс должно иметь место второе решение, т.е. должно выполняться А < 0. Таким образом:

А > 0 при Т > Тс, А < 0 при Т < Тс,

Второе предположение Ландау требует выполнения А(Тс) = 0 . Простейший вид функции А(Т), удовлетворяющий этим требованиям, есть

Тогда

откуда

где -

- так называемый критический индекс, а функция С(г],Т) принимает вид:

На рис. 3.8.1 изображена зависимость б(п, Т) для Т > Тс и Т < Тс.

Графики функции параметров G(п, Т) для Т > Тс и Т < Тс

Рис. 3.8.1 - Графики функции параметров G(п, Т) для Т > Тс и Т < Тс

Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. - М.: Мир, 1980. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. - М.: Мир, 1984.

Качественная зависимость параметров G{j], T) от параметра порядка ] изображена на рис. 3.8.1 (G0 = 0). Зависимость параметра порядка ] от температуры представлена на рис. 3.8.2.

В более продвинутой теории учтено, что при T > Tc параметр порядка ] , хоть и очень маленький, но не равен точно нулю.

Переход системы из состояния с h = 0 при Т > Тс в состояние с h — 0 при уменьшении Т и достижении значений Т £ Тс можно понимать, как потерю устойчивости положения h = 0 при Т £ Тс. Недавно появилась математическая теория

со звучным названием "Теория Катастроф" описывающая с единой точки зрения множество различных явлений. С точки зрения теории катастроф - фазовый переход второго рода это "катастрофа сборки".

Зависимость параметра порядка n от температуры: при T < Tc и вблизи Tc параметр порядка n ведет себя как степенная функция, а при T > Tc n = 0

Рис. 3.8.2 - Зависимость параметра порядка n от температуры: при T < Tc и вблизи Tc параметр порядка n ведет себя как степенная функция, а при T > Tc n = 0

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >