< Попер   ЗМІСТ   Наст >

Гамма-розподіл

Випадкова величина ξ має гамма-розподіл із параметрами а і β, якщо щільність розподілу випадкової змінної має вигляд

а функція розподілу

де – гамма-функція, що має такі властивості:

Зауважимо, якщо , а п – ціле невід'ємне число, то

Розподіл Вейбулла

Випадкова величина х має розподіл Вейбулла з параметрами β і , якщо щільність розподілу має вигляд

Функція розподілу ймовірностей

Розподіл Вейбулла часто використовують у задачах надійності. За ним нерідко розподілений час напрацювання до відмови, що пов'язано зі старінням конструкційних матеріалів. Форма цього розподілу може істотно змінюватися залежно від значення величини параметра β.

Експонентний закон

Цей закон однопараметричний, широко застосовується в теорії надійності. За експонентним законом розподіляється випадкова величина – час напрацювання об'єкта до відмови, якщо його відмови не пов'язані зі старінням, а спричинені випадковими зовнішніми чинниками. Основними характеристиками експонентного закону є:

щільність розподілу

функція розподілу

математичне сподівання , дисперсія

Отже, наведені найуживаніші в прикладній теорії надійності та безпеки закони розподілу випадкових величин дають змогу визначити ймовірності виникнення аварії на ПНО за наявності статистичних даних про аварії на цьому об'єкті у попередні роки або на аналогічних підприємствах.

Випадкова змінна в процесі досліду набуває одного, заздалегідь невідомого значення. Такі випадкові змінні формуються, якщо комплекс умов, що їх породжує, залишається сталим. На практиці під час проведення випробувань зафіксувати всі умови як правило складно. Дослідження відбувається в часі, просторі, за безперервної дії випадкових зовнішніх і внутрішніх чинників. Тому здебільшого на практиці стикаються з випадковими змінними, які у процесі досліду набувають множини наперед невідомих значень. Випадкові величини, які змінюються у процесі досліду, на відміну від звичайних випадкових величин (чисел), називають випадковими функціями.

Позначимо випадкову функцію X(t). Конкретний вигляд, якого набуває випадкова функція в результаті досліду, називають реалізацією випадкової функції. Якщо проведено п незалежних випробувань, у результаті яких отримано п реалізацій випадкової величини , то кожна реалізація є звичайною функцією. Сукупність цих реалізацій утворює випадкову функцію. Випадкові функції часу називають випадковими процесами, тобто випадковий процес – це випадкова функція від незалежної змінної t. Залежно від того, належать можливі значення аргументу t і функції X(t) дискретній множині чисел чи відрізку, розрізняють дискретний або неперервний випадковий процес.

Якщо маємо неперервний випадковий процес, то t і X(t) можуть набувати будь-яких значень на відрізку або на всій осі. Якщо випадковий процес дискретний, то змінна t неперервна, а Х(t) набуває дискретних значень.

Процес називають неперервною випадковою послідовністю, якщо незалежна змінна t може набувати тільки дискретних значень, a X(t) – будь-яких значень на відрізку або на всій осі.

Процес називають дискретною випадковою послідовністю, якщо t і X(t) можуть набувати дискретних значень.

Прикладами дискретних випадкових процесів є зміна з часом кількості автомобілів, які прибули на заправку; кількості пасажирів, які очікують таксі. Реалізації таких процесів є ступінчастими функціями. Час безвідмовної роботи верстата можна розглядати як неперервну випадкову послідовність.

У гідрологічних дослідженнях часто потрібно аналізувати випадкові функції інших аргументів. Так, поверхня води під час вітрового хвилювання у фіксований момент часу є реалізацією випадкової функції координат (широти і довготи), а вектор швидкості турбулентної течії води – випадковою функцією чотирьох аргументів: трьох координат точки простору і часу. Випадкові функції простору називають випадковими полями.

Як зазначалось вище, випадкова величина найповніше описується законом її розподілу Р(х). Аналогічно цьому найповніший опис випадкової функції X(t), представленої її реалізаціями при , можна здійснити, задавши закони розподілу для кожного t. Тоді закон розподілу випадкової функції позначиться .

Найуживанішими характеристиками випадкової функції є математичне сподівання, дисперсія та кореляційна (автокореляційна) функція.

Математичне сподівання випадкової величини визначають за формулою

якщо випадкова величина неперервна і за формулою

якщо випадкова величина дискретна, де – щільність розподілу випадкової величини , – ймовірність того, що випадкова величинанабуде значення .

Якщо розглядати випадкову функцію як сукупність випадкових величин, то дисперсію кожної випадкової величини, наприклад , можна знайти за формулою

якщо випадкова величина неперервна, і за формулою

якщо випадкова величина дискретна.

Характеристикою зв'язку між ординатами випадкової функції є кореляційна функція.

Якщо і – дві ординати випадкової функції , то кореляційний момент або коваріацію випадкових величин і обчислюють за формулою

якщо і неперервні випадкові величини, і за формулою

якщо і – дискретні випадкові величини.

За допомогою наведених характеристик вирішують багато практичних завдань теорії безпеки.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >