< Попер   ЗМІСТ   Наст >

Метод статистичного моделювання Монте-Карло

Метод Монте-Карло, який називають також методом статистичного моделювання, дає змогу вирішувати ймовірнісні проблеми статистичними методами. Теорія цього методу вказує, як найдоцільніше вибрати випадкову величину X, як знайти її можливі значення.

Метод Монте-Карло тісно пов'язаний із завданнями теорії ймовірностей, математичної статистики й обчислювальної математики. У зв'язку із завданням моделювання випадкових величин (особливо рівномірно розподілених) істотну роль відіграють також методи теорії чисел.

Метод Монте-Карло придатний для вирішення багатьох завдань, пов'язаних із моделюванням надзвичайних ситуацій, тому що його застосування виправдане насамперед у тих завданнях, які допускають теоретико-ймовірнісний опис.

Оскільки метод Монте-Карло потребує проведення великої кількості випробувань, його часто називають методом статистичних випробувань. Він має деякі очевидні переваги:

  • • не потребує жодних припущень щодо регулярності за винятком квадратичної інтегрованості; це може бути корисним, тому що в багатьох випадках трапляються дуже складні функції, властивості регулярності яких непросто встановити;
  • • забезпечує здійснення процедури навіть у багатовимірному випадку, коли чисельне інтегрування непридатне, наприклад за числа вимірів >10.
  • • легко застосовується за малих обмежень або без попереднього аналізу завдання.

Метод Монте-Карло має й деякі недоліки, а саме:

  • • межі похибки точно не визначені, а включають деяку випадковість;
  • • статистична похибка спадає дуже повільно;
  • • необхідні таблиці випадкових чисел.

Повільна збіжність є істотним недоліком методу, однак можна скористатися його модифікаціями, які забезпечують високий порядок збіжності за певних припущень. Щоправда, обчислювальна процедура при цьому ускладнюється і за складністю наближається до інших процедур обчислювальної математики. Збіжність методу Монте-Карло визначають як збіжність за ймовірністю. Цю обставину навряд чи варто вважати його недоліком,

оскільки ймовірнісні методи достатньою мірою виправдовують себе в практичних застосуваннях.

Імітаційне моделювання за методом Монте-Карло (Monte- Carlo Simulation) дає змогу побудувати математичну модель з невизначеними параметрами, і, знаючи їх ймовірнісні розподіли, а також зв'язок між змінами параметрів (кореляцію), отримати розподіл досліджуваної функції.

Метод Монте-Карло часто застосовують для обчислення надійності складних систем із великою кількістю елементів. Аналіз ризиків із використанням методу імітаційного моделювання Монте-Карло є поєднанням методів аналізу чутливості та аналізу сценаріїв на базі теорії ймовірностей. Результат такого комплексного аналізу – розподіл ймовірностей можливих результатів.

Суть методу ілюструє такий приклад. Нехай відома невипадкова функція, скажімо збиток , аргументом якої є випадкова величина X із заданим законом розподілу . Треба оцінити закон розподілу випадкової величини Y або параметри закону розподілу (якщо його вигляд заздалегідь відомий). Для цього за відомою функцією розподілу проводять п випробувань, тобто розігрують (моделюють) п можливих значень X: і з цими числами виконують дії відповідно до функціональної залежності φ (X):

Отриману вибірку обробляють відомими методами математичної статистики й отримують параметри і закон розподілу випадкової величини Y

Для функції кількох аргументів алгоритм методу не зазнає істотних змін. У цьому разі розігрують вибірки для кожного аргумента Xi згідно із законом його розподілу HXi(xi) (припускають стохастичну незалежність аргументів):

У подальшому отримують вибірку {уi}, виконавши дії відповідно до функціональної залежності :

Оцінку числа необхідних випробувань, які забезпечать необхідну похибку обчислень не вищу за задану, можна отримати на основі співвідношень граничних теорем.

Класичне завдання оцінювання математичного сподівання випадкової величини методом Монте-Карло полягає в такому.

Нехай вдалося деяким способом обчислити значення незалежних реалізацій випадкової величини Y, для якої існують і скінченні її математичне сподівання MY і дисперсія DY. Тоді середнє арифметичне значення за достатньо великого п має нормальний розподіл, і при заданому рівні довіри γ справедлива нерівність

де a – константа, яка визначається вибором величин γ.

Із цієї нерівності випливає, що кількість обчислень для досягнення заданої точності при заданому рівні довіри пропорційна величині

Загалом підвищення точності обчислення на один порядок потребує збільшення кількості обчислень на два порядки. Багато фахівців вважає, що це є основним недоліком методу Монте-Карло.

Метод Монте-Карло спирається на використання випадкових чисел. Розподілені за заданим законом випадкові числа хк зазвичай отримують у два етапи:

  • • знаходження випадкового числа R, рівномірно розподіленого в інтервалі (0, 1);
  • • перетворення рівномірно розподілених випадкових чисел на шукані .

Генератори випадкових чисел є у всіх статистичних пакетах. За умови їх використання алгоритм методу імітації Монте-Карло складається з наведених нижче кроків.

Крок 1. Спираючись на використання статистичного пакета, випадковим чином вибирають, ґрунтуючись на ймовірнісній функції розподілу, значення змінної, котра є одним з параметрів визначення функції.

Крок 2. Обране значення випадкової величини поряд зі значеннями змінних, які є екзогенними, використовують під час підрахунку значення функції.

Кроки 1 і 2 повторюють багато разів, наприклад 1000, й отримані 1000 значень використовують для побудови щільності розподілу досліджуваної величини зі своїми власними математичним сподіванням і стандартним відхиленням.

Ймовірнісний розподіл регулює ймовірність вибору значень із певного інтервалу. В рамках моделі ймовірнісного аналізу ризиків проводять велику кількість ітерацій, що дають змогу встановити, як поводиться результативний показник (у яких межах коливається, як розподілений) у разі підстановки в модель різних значень змінної відповідно до заданого розподілу.

Отже, розглянуті методи уможливлюють отримання оцінки ризиків виникнення аварій та надзвичайних ситуацій на потенційно небезпечних об'єктах, об'єктах підвищеної небезпеки, що має важливе значення для оцінювання ступеня небезпеки і складання декларації безпеки об'єкта.

Розробка і вдосконалення теоретичних і методологічних засобів імовірнісного аналізу безпеки складних систем залишається актуальною науковою проблемою і важливим практичним завданням.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >