< Попер   ЗМІСТ   Наст >

Обчислення функції надійності складних систем

Один зі способів підвищення безпеки систем є метод резервування, що полягає у введенні в систему додаткових елементів або підсистем понад кількість, мінімально необхідну для виконання заданих функцій. Сучасні системи характеризуються складністю своєї структурної і функціональної організації, що дає змогу, з одного боку, виконувати цілий комплекс різних взаємозалежних функцій, а з іншого – стало працювати з припустимим рівнем надійності при відмові окремих підсистем (елементів) і навіть групи підсистем. Для сучасних складних систем не існує загальноприйнятого поняття відмови, тому що внутрішні зміни в структурі системи через відмови окремих елементів як правило призводять лише до деякого погіршення її надійності, а не до повної відмови. Це пояснюють тим, що в складних системах із надлишковою структурою передбачене повне або часткове резервування окремих функцій, а також різних зворотних зв'язків, засобів коригування помилок і т. д.

У теорії надійності розрізняють послідовні та паралельні системи з'єднання. Послідовною називають таку систему, яка відмовляє в разі відмови хоча б однієї з її підсистем, і відмови підсистем незалежні. Надійність послідовної системи за незалежних відмов підсистем виражає залежність

де , – задані надійності підсистем.

Це співвідношення відбиває відоме положення про те, що коли елементи взаємодіють за схемою послідовного з'єднання, то показники безпечної роботи системи нижчі за відповідні показники кожного з її елементів. При цьому зі збільшенням числа елементів показники надійності системи швидко зменшуються. Якщо число підсистем велике, то за послідовного з'єднання практично неможливо створити систему, що має високу безпеку.

Система з паралельним з'єднанням підсистем роботоздатна тоді і тільки тоді, коли роботоздатна хоча б одна її підсистема. Надійність системи з паралельним з'єднанням підсистем за припущення, що відмови підсистем незалежні, обчислюють за формулою

Отже, безпека системи з паралельним з'єднанням підсистем за припущення, що відмови підсистем незалежні, зростає зі збільшенням кратності резервування.

На практиці широко застосовують системи, які можна подати у вигляді комбінації послідовного і паралельного з'єднання (послідовно-паралельні та паралельно-послідовні з'єднання). Формули для обчислення надійності таких систем (підсистем) складають на основі розрахункових формул для паралельного і послідовного з'єднань, вони залежать від конфігурації системи у кожному конкретному випадку.

Як уже зазначалось, кожна підсистема складної системи в будь-який момент часу її функціонування знаходиться у визначеному стані. Цей стан характеризується значеннями параметрів підсистем.

На практиці доводиться застосовувати грубу модель підсистеми і розглядати два її стани – роботоздатність і відмову. При цьому система, що складається з таких підсистем, залежно від прийнятих припущень може знаходитись тільки у двох станах – роботоздатності і відмови [3] або мати деякі проміжні стани, в яких система лише погіршує надійність свого функціонування, наприклад системи з довільною структурою.

Для різних станів значення надійності можуть бути різними. Якщо ввести деяке граничне значення надійності для системи, то станами роботоздатності можна вважати стани, для яких значення надійності не менші за задане граничне значення, а стани відмов – у протилежному випадку. У більш загальному випадку j-та підсистема системи, що складається з п підсистем, може перебувати в різних станах, які не вдається звести до двох станів – роботоздатності і відмови [4, 5]. Тоді система загалом характеризуватиметься траєкторією в складнішому фазовому просторі з числом станів

Як уже зазначалося, надійність системи визначається надійністю її підсистем (елементів, які входять у підсистеми) та їхнім взаємозв'язком – структурою. Розглянемо загальну формулу для розрахунку надійності системи, яку за відповідних припущень щодо структури системи можна застосовувати для обчислення надійності систем з довільною структурою.

Нехай складна система складається з п підсистем у, . Підсистеми, що входять до складу структури системи, можуть знаходитися тільки в одному з двох станів: роботоздат-

ності чи відмови, при цьому відмови підсистем трапляються незалежно одна від одної. Нехай , – змінна, індикатор стану j-ї підсистеми:

n-мірний вектор, що характеризує стан системи, обумовлений станом її підсистем.

Тоді система, що складається з п підсистем, кожна з яких має два стани, може знаходитися в одному з різних станів. Уведемо позначення станів системи , коли І підсистем – – роботоздатні. Позначимо через

множину можливих наборів індексів підсистем. Якщо всі підсистеми роботоздатні, то множина

Нехай – ймовірність того, що система знаходиться у стані ,; – ймовірність того, що система знаходиться у стані (1, 1, ..., 1), коли всі підсистеми роботоздатні. Сума ймовірностей усіх можливих станів системи утворює повну групу подій, тому справедлива рівність

Позначимо через – показник умовної ймовірності роботоздатності (умовної ймовірності функціонування) системи у стані

Тоді надійність системи можна визначити за формулою

(6.14)

де додавання виконують по всій множині G. З огляду на припущення про взаємну незалежність відмов підсистем, ймовірності станів обчислюють через імовірності станів роботоздатності (надійності) , підсистем за виразом

(6.15)

Зокрема,

Отже, надійність системи, що складається з п незалежних підсистем, визначають за формулою (6.14), де ймовірності станів знаходять за (6.15). При цьому жодних обмежень на структуру системи не накладається.

Часом виявляється, що, незважаючи на велике число станів системи, усі вони можуть бути розбиті на мале число класів, кожен з яких характеризується одним і тим самим коефіцієнтом умовної ймовірності стану. У цьому разі надійність системи обчислюють за формулою

де – значення коефіцієнта умовної ймовірності стану, – число таких класів, – множина тих станів, для яких коефіцієнт умовної ймовірності дорівнює . Якщо коефіцієнт , а решта , , то за формулою (6.14) можна визначити надійність послідовної системи.

У загальних рисах порядок розрахунку надійності складної системи полягає у виконанні таких дій:

  • • складну систему розбивають на окремі підсистеми;
  • • визначають показники умовної ймовірності функціонування системи в різних станах;
  • • встановлюють спосіб побудови варіантів підсистем із елементів без резервування або з резервуванням (однотипним, різнотипним) і задають схему з'єднання елементів (паралельна, послідовно-паралельна, складної структури);
  • • обчислюють показники надійності підсистем через показники надійності елементів;
  • • обчислюють ймовірності всіх можливих станів системи на підставі ймовірностей станів окремих підсистем (за умови незалежності їхніх відмов);
  • • визначають показники надійності всіх можливих станів системи.

На практиці цікавими є високонадійні системи, тобто системи, надійність яких близька до одиниці, й, отже, величина мала, де – надійність системи. Для таких систем можна припустити, що величини надійності , підсистем близькі одна до одної, і величина задовольняє умову max або . Для високонадійних систем формулу (6.14) можна подати у вигляді розкладу за степенями , :

де – коефіцієнт умовної ймовірності стану, що характеризується роботоздатністю всіх елементів системи: , і т. д.

У разі дослідження надійності систем найважливішим моментом є встановлення необхідної відповідності між реальним об'єктом та його моделлю (адекватність моделі), коли всі складові, які стосуються безпечної поведінки об'єкта (системи), мають бути відображені в моделі.

Фактично надійність будь-якого об'єкта можна вірогідно визначити тільки після завершення його експлуатації та досягнення ним граничного стану, тобто стану, за якого подальша експлуатація об'єкта або неприпустима з міркувань безпеки чи економіки або відновлення його роботоздатності технічно неможливе чи економічно недоцільне. Для такого об'єкта ми матимемо конкретні реалізації (відомі після експлуатації значення) усіх зазначених випадкових величин, які характеризують його надійність. За ними можна однозначно встановити, наприклад, середнє напрацювання на відмову відновлюваного об'єкта, його ресурс і строк служби, середній час відновлення після відмов і т. д. Однак це будуть фактичні показники надійності конкретного об'єкта.

Очевидно, що якби ми мали інформацію щодо експлуатації об'єкта до граничного стану іншого зразка об'єкта, який розглядається (повністю аналогічного за конструкцією, технологією виготовлення, умовами експлуатації і т. д.), то ми б отримали відмінні від попередніх реалізацій згаданих випадкових величин через випадкові чинники: випадкові відхилення в межах допусків параметрів складових елементів, властивостей матеріалів, технології виготовлення і т. д. Інакше кажучи, показники надійності іншого зразка були б дещо відмінними від перших.

Для партії однорідних об'єктів, що закінчили експлуатацію, ми матимемо по кожній зі згаданих випадкових величин цілу статистичну сукупність її можливих значень (реалізацій), або за термінологією математичної статистики – емпіричну статистичну вибірку значень випадкової величини. За цією вибіркою можна побудувати закон розподілу випадкової величини, який характеризує надійність об'єкта. Знаючи такі закони, можна обчислювати всі необхідні показники надійності об'єкта.

Отже, звідси випливає такий висновок. Коли йдеться про показники надійності об'єкта, ми, як правило, розуміємо, що це показники деякої однорідної статистичної сукупності об'єктів (партії однорідних об'єктів) і фактичні індивідуальні показники окремого об'єкта цієї партії відрізнятимуться від середніх для партії. Степінь цієї відмінності визначається тими ж законами (або їх числовими характеристиками) розподілу згаданих випадкових величин, які характеризують надійність об'єкта. У цьому сенсі показник надійності об'єкта до і в процесі його експлуатації слід розуміти статистично, що це показник партії однорідних об'єктів. Якщо, наприклад, ймовірність безвідмовної роботи об'єкта протягом часу t оцінена значенням 0,9, це означає, що з 10 таких об'єктів у середньому 9 відпрацюють час t безвідмовно і лише 1 відмовить до моменту t, а який саме – наперед невідомо.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >