< Попер   ЗМІСТ   Наст >

Класифікація математичних моделей

Математичні моделі, що становлять абстрактну частину спектру (рис. 7.2), з метою зручності їхнього використання в різних галузях, у тому числі і у логістиці, класифікують за шістьма найбільш представницькими ознаками:

  • – способу одержання моделі;
  • – способу опису або подання об'єкта чи його властивостей;
  • – способу формалізації об'єкта або його властивостей;
  • – приналежності до ієрархічного рівня;
  • – ступеня масштабності опису об'єкта або його властивостей;
  • – ступеня складності опису об'єкта або його властивостей.

За способом одержання моделі діляться на теоретичні, нейронні (персептрони) і емпіричні.

Теоретичні моделі виводяться математично на основі знання первинних законів класичної механіки, електродинаміки, хімії і т.д. Моделі, що одержані з реального життя на основі статистичної обробки результатів спостережень, формують групу емпіричних. Проблема побудови емпіричної моделі включає і вибір форми цієї моделі, що підходить, а також розумного ступеня її складності, що сумісний з наявними експериментальними даними.

За останні роки в області моделювання економічних процесів все більшого значення набувають нейронні моделі (персептрони). Нейронна модель (персептрон) складається з бінарних нейроподібних елементів і має просту топологію.

Найпростіший персептрон містить у собі матриці бінарних входів (сенсорних нейронів або сітківки, куди подаються вхідні образи), набору бінарних нейроподобніх елементів з фіксованими зв'язками до підмножин сітківки, бінарного нейроподібного елемента з модифікованими зв'язками до цих предикатів (елементів, що рішають).

Попередньо персептрон використовувався для рішення завдання автоматичної класифікації, що загалом складається в поділі простору ознак між заданою кількістю класів. У сьогоднішніх умовах на рівні нейронних мереж можна вирішити проблему логістичного прогнозування, яка формалізується через завдання розпізнавання образів.

Розглянемо наступний приклад. Є дані по поточному попиту на продукцію фірми за шість років (Ас = 6): 71, 80, 101, 84, 60, 73.

Для формалізації задачі використаємо метод вікон. Задамо розміри вікон η = 3, т = 1 і рівень збудження нейроподібного елементу s = 1. Далі, за допомогою методу вікон із уже фіксованими параметрами n, т, s для нейронної мережі генерується наступна навчальна вибірка:

Як бачимо, кожен наступний вектор утворюється у результаті зсуву вікон Wі й W0 вправо на один елемент (s = 1). При цьому передбачається наявність схованих залежностей у тимчасовій послідовності як множині спостережень.

Нейронна мережа, навчаючись на цих спостереженнях і відповідно набудовуючи свої коефіцієнти, намагається витягти ці закономірності і сформувати в результаті очікувану функцію прогнозу, тобто "побудувати" модель. Прогнозування здійснюється за тим же принципом, що і формування навчальної вибірки.

За способом опису об'єкту моделі діляться в такий спосіб:

  • 1) алгебраїчні;
  • 2) регресійно-кореляційні;
  • 3) ймовірнісно-статистичні, що об'єднують в собі моделі теорії черг, моделі запасів і статистичні моделі;
  • 4) математичного програмування – лінійного програмування, мережеві (потокові).

Відносно першої групи моделей – алгебраїчних, необхідно відразу обмовитися, що вони по суті своїй для логіста носять допоміжний характер для прийняття правильного рішення. Алгебраїчні моделі використовуються звичайно при рішенні таких завдань, як аналіз "критичної точки" і аналіз "витрати – прибуток".

Регресійно-кореляційні моделі, що представляють другу групу, є узагальненням екстраполяційних і статистичних моделей і використовуються для опису специфіки об'єкта або його властивостей.

Третю групу становлять ймовірнісно-статистичні моделі, що засновані на фенологічних явищах і гіпотезах. Дані моделі можуть бути детермінованими або стохастичними. Так, наприклад, залежність У = φ(Χ), що установлена за результатами спостережень випадкових величин X і У методом найменших квадратів, являє собою детерміновану модель. Якщо ж урахувати спостережувані в результаті дослідів випадкові відхилення експериментальних точок від кривої У=φ(Х) і записати залежність У від X у виді В = φ(Χ) + Ζ, (де Ζ – деяка випадкова величина), то отримаємо стохастичну модель в її ідеальному виразі.

При цьому величини X і У можуть бути як скалярними, так і векторними. Функція φ(Χ) може бути як лінійною комбінацією даних функцій, так і даною нелінійною функцією, параметри якої визначаються методом найменших квадратів.

Моделі лінійного програмування усе ширше використовуються для рішення завдань логістичної спрямованості.

Хто знайомий з математичним програмуванням, той знає, що її вирішити в загальному виді практично неможливо. Однак найбільш розробленими в математичному програмуванні є задачі лінійного програмування.

У задачах лінійного програмування цільова функція лінійна, а умови-обмеження містять лінійні рівності і лінійні нерівності; змінні можуть бути підлеглі або не підлеглі вимозі незаперечності.

Для демонстрації простоти рішень логістичних задач за допомогою лінійного програмування звернемося до двох відомих задач:

  • – перша – про бабку, що збирається на ринок, щоб продати живність, яка виросла у неї на подвір'ї за рік;
  • – друга – про харчування.

Задача перша (про бабку)

Суть даної задачі зводиться до одержання відповіді на просте питання: "Скільки треба взяти бабці для продажу на ринку живих гусаків, качок і курей, щоб вона одержала найбільший виторг за умови, що вона може доставити на ринок живності масою не більше Р кг ?". При цьому відомі:

  • – маса курки (т,), качки (т2) і гусака (т3);
  • – вартість курки (с7), качки (с2) і гусака (с3).

Розглянемо алгоритм рішення задачі.

  • 1. Для рішення задачі позначимо кількість, відповідно, курей – х1 качок – х2, гусаків – х3, узятих бабкою для продажу на ринок.
  • 2. Складемо цільову функцію до цієї задачі:

3. Опишемо обмеження на рішення задачі.

Маса товару, що бабка може доставити одночасно на ринок, не повинна перевищити Р кілограм:

Значення, і повинні бути позитивними цілими числами (), тобто:

Виконавши три описаних кроки, одержуємо задачу лінійного програмування. Підставляючи вихідні значення х, т, с і Р, знаходимо відповідь на поставлене питання.

Задача друга (про харчування)

Кафе "Бістро" щодня в магазині закуповує продукти харчування для приготування певних блюд для своїх відвідувачів. У раціон входять три різних живильних речовини (b) і потрібно їх, відповідно, не менш b1, b2, b3 одиниць. У магазині продається п'ять видів різних продуктів х1 – х5 за ціною, відповідно, С-І – с5.

Кожна одиниця продукту і-го виду (хi) містить аіj одиниць j-ї живильної речовини, тобто, наприклад, а2з показує, що в одиниці другого продукту третьої живильної речовини буде а23 одиниць.

Оскільки кафе функціонує в оточенні конкурентів, необхідно правильно визначити кількість продуктів кожного виду х1 – x5, які варто закупити. При цьому треба виконати наступні умови:

  • 1) щоб вартість продуктів була мінімальною;
  • 2) щоб у раціоні блюд у потрібній кількості містилися всі необхідні живильні речовини.

Математична постановка рішення задачі буде наступна:

1. Цільова функція даної задачі – мінімізувати вартість продуктів х1 – х5. Математично це буде виглядати в такий спосіб:

  • 2. Умови обмеження рішення задачі:
    • а) кількість першої живильної речовини повинна бути не менш b1,:

б) кількість другої живильної речовини повинна бути не менш b2:

в) кількість третьої живильної речовини повинна бути не менш b3:

При цьому варто мати на увазі, що кількість продуктів не може мати негативне число, тобто:

Далі, одержавши задачу лінійного програмування і вирішуючи систему нерівностей, знаходимо оптимальний результат.

Для правильного розуміння рішення наведеної задачі розглянемо наступний приклад.

Нехай у даній задачі будемо мати такі вихідні дані:

Цільова функція буде мати наступний вигляд:

Визначати мінімальне значення функції треба за умови виконання наступних обмежень:

Маючи на увазі, що кількість продуктів не може бути від'ємним числом, приймаємо, що

У результаті рішення задачі за представленими вихідними даними маємо наступну відповідь: і . При даних значеннях цільова функція буде мати наступне значення:

Мережні (потокові) моделі.

Важливим класом задач математичного програмування є так називані мережеві (потокові) задачі, у термінах яких можуть бути сформульовані задачі лінійного програмування.

Розглянемо як приклад так називану транспортну задачу (рис. 7.3), що є однією з перших потокових задач, яка була вирішена в 1941 р. Ф.Л. Хітчкоком.

Нехай є два заводи (1 і 2) і три склади (А, Б, В). Заводи виробляють, відповідно, s1 і s2 одиниць продукції. Склади мають можливість прийняти на збереження d1, d2 і d3 одиниць продукції, тобто:

.

Завдання полягає у тім, щоб мінімізувати витрати на перевезення продукції від заводів-виробників на склади. Задамо наступні вихідні умови. Припустимо, ЩО Хij обсяг продукції, який необхідно перевезти з і-го заводу на j-й склад; с,- – вартість перевезення одиниці продукції з і-го заводу на j-й склад. Тоді цільова функція задачі – вартість перевезення, буде мати наступний вигляд:

Мережа для рішення транспортної задачі

Рис. 7.3. Мережа для рішення транспортної задачі

Умова того, що вся продукція буде транспортуватися з кожного заводу:

Дані рівності можна записати в короткій формі, а саме:

Умова заповнення складів має наступний вигляд: причому

Дана модель може бути описана за допомогою мережі, якщо припустити, що вузлами мережі є заводи і склади, а дугами – дороги для перевезення вантажу (рис. 7.3). Сформульована транспортна задача є окремим випадком задачі пошуку потоку мінімальної вартості в межах мережі.

Мережеві задачі застосовують при проектуванні і удосконалені великих і складних систем, а також за умови пошуку шляхів їх найбільш раціонального використання. У першу чергу, це пов'язано з тим, що за допомогою мереж можна досить просто побудувати модель системи. Останнє базується на ідеї критичного шляху (метод СРМ) та оцінці і засобах спостереження (наприклад, система PERT- Program Evalution Research Task).

Крім того, мережі дозволяють здійснити [2, с. 147 – 149]:

  • – формалізацію моделі складної системи як сукупності простих систем (у цьому випадку логістичної системи як сукупності її підсистем і ланок – закупівлі, складів, транспортування, запасів, виробництва, розподілу і збуту);
  • – складання формальних процедур для визначення якісних характеристик системи;
  • – визначення механізму взаємодії компонентів керуючої системи з метою опису останньої в термінах її основних характеристик;
  • – визначення даних, що необхідні для дослідження логістичної системи і її основних підсистем;
  • – початкове дослідження керуючої системи, складання попереднього розкладу роботи її компонентів.

Основна перевага мережевого підходу полягає в тім, що він може бути успішно застосований до рішення практично будь-яких задач, коли можна точно побудувати мережеву модель.

Узагальнена характеристика математичних моделей, що класифікуються за способом опису об'єкта, наведена в табл. 7.3. У таблиці зазначені найбільш придатні області застосування даних моделей з попередньо позначеною точністю одержуваних оцінок. Дана інформація корисна логістам на етапі побудови моделей або вибору останніх для рішення проблеми, що виникла.

За характером відображуваних властивостей об'єкта моделі класифікуються на структурні і функціональні, які в сукупності відбивають взаємозв'язок і взаємовпливи окремих елементів на процеси, що протікають в об'єкті при його функціонуванні або виготовленні.

Структурні моделі призначені для відображення структурних властивостей об'єкта: складу, взаємозв'язку і взаємного розташування, а також форми компонентів.

Функціональні моделі призначені в більшій мірі для відображення процесів, що протікають в об'єкті при його функціонуванні або виготовленні, і, як правило, містять алгоритми, що зв'язують фазові змінні, внутрішні, зовнішні або вихідні параметри.

Таблиця 7.3

Характерні риси математичних моделей

Вид моделі

Найбільш придатна область використання моделі

Відносна точність розрахунку, %

Алгебраїчні

Загальні операційні проблеми: аналіз процесу витрати – прибуток і т.п.

90-95

Модель лінійного програмування

Планування виробництва, розподіл робочої сили, аналіз розміщення, змішування інгредієнтів у продуктах харчування і ін.

75-80

Мережеві (потокові)

Попередньо: дослідницькі і конструкторські роботи, розробка виробничих проектів

до 75

Ймовірнісно-статистичні:

- моделі теорії черг

Оцінка систем сервісу

до 80

- моделі запасів

Управління активами фірми, підприємства

70-75

- статистичні

У різних сферах з достатньою часткою невизначеності

до 70

Регресійно-кореляційні

У сферах управління, виробництва,

аналіз попиту і ін. |

85-95

За способом формалізації об'єкта: при складності наявних ситуацій виникає необхідність у спрощеному їх описі за допомогою аналітичних і алгоритмічних моделей, що належним чином

"абстрагують" обрані "істотні" властивості об'єктів і ситуацій. Комп'ютерна імітація реальних об'єктів – це цінний інструмент для аналізу складних систем сервісу, політики обслуговування і інвестиційного вибору.

Розподіл об'єктів на ієрархічні рівні приводить до певних рівнів моделювання, ієрархія яких визначається як складністю об'єктів, так і можливістю засобів управління. Тому, відповідно до приналежності до ієрархічного рівня, математичні моделі поділяються на мікро-, макро- і метамоделі. Відмінність даних моделей полягає в тому, що на більш високому рівні ієрархії компоненти моделі приймають вид досить складних сукупностей елементів попереднього рівня. Цими ж аспектами визначається і поділ моделей за ступенем масштабності і складності опису об'єкту.

Наведена класифікація моделей покликана допомогти логістам у більш оперативному і правильному прийнятті рішень з метою здійснення місії організації.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >