Лінійні системи. Типи особливих точок: вузол, сідло, фокус, центр

Розглянемо прості динамічні системи вигляду (5.19), які можуть бути описані системою двох лінійних диференціальних рівнянь першого порядку (5.24), де a, b, с, d – константи, а х та у – декартові координати на фазовій площині.

Загальне розв'язання системи шукатимемо у вигляді

(5.28)

Підставимо ці вирази в (5.19) і скоротимо на е .

(5.29)

Система рівнянь (5.29) з невідомими А, В має ненульовий розв'язок лише в тому разі, якщо Ті визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, , дорівнює нулю:

Розкриваючи цей визначник, отримаємо так зване характеристичне рівняння системи (3.19)

(5.30)

Розв'язання цього рівняння дає значення показника, при яких можливі ненульові для А і В розв'язки рівняння (5.29). Ці значення такі:

(5.31)

Відзначимо, що якщо підкорінний вираз від'ємний, то– комплексно- спряжені числа. Припустимо, що обидва корені рівняння (5.30) мають відмінні від нуля дійсні частини і що немає кратних коренів. Тоді загальний розв'язок системи (5.19), записаний у загальному вигляді (5.28), можна подати у вигляді лінійної комбінації експонент b показникамиі

(5.32)

Для аналізу характеру можливих траєкторій системи (5.19) на фазовій площині використовуємо лінійне однорідне перетворення координат. Таке перетворення дозволить звести систему (5.19) до так званого канонічного вигляду:

(5.33)

що допускає зручніше подання на фазовій площині порівняно з початковою системою (5.19). Введемо нові координатиза формулами:

(5.34)

З курсу лінійної алгебри відомо, що у разі нерівності нулю дійсних частин початкову систему (5.19) за допомогою перетворень (5.34) завжди можна звести до канонічного вигляду (5.33) і розглядати її поведінку на фазовій площині. Тут можливі різні випадки.

Коренідійсні й одного знака

Тоді коефіцієнти перетворення дійсні й ми маємо перехід від дійсної площини X, у до дійсної площини

Розділивши одне з канонічній рівнянь (5.33) на інше, маємо

(5.35)

Інтегруючи це рівняння, знаходимо

(5.36)

Умовимося розуміти підкорінь характеристичного рівняння з більшим модулем (це не порушує спільності нашого розгляду). Тоді, оскільки в даному випадкуодного знака, а > 1 і ми маємо справу з інтегральними кривими параболічного типу.

Усі інтегральні криві (крім осі, якій відповідає) дотикаються на початку координат осі(остання також є інтегральною кривою рівняння (5.35)). Початок координат – особлива точка.

З'ясуємо тепер напрям рухів на фазовій площині. Якщовід'ємні, то, як бачимо з рівнянь (5.33),зменшуються з часом. Відображальна точка з часом наближається на початку координат, ніколи, однак, не досягаючи його в кінцевий час, оскільки це суперечило б теоремі Коші, яка стверджує, що через кожну точку фазової площини проходить лише одна фазова траєкторія системи рівнянь (5.33). Така особлива точка, через яку проходять інтегральні криві подібно до того, як сім'я параболпроходить через початок координат, носить назву вузла (рис. 5.10).

Неважко бачити, що стан рівноваги, відповідний вузлу, приє стійким за Ляпуновим, оскільки відображальна точка по всіх інтегральних кривих рухається унапрямку до початку координат (стійкий вузол). Якщо ж λ1, X2 додатні, тозростають з часом і відображальна точка з часом віддаляється від початку координат. У такому разі ми маємо справу з нестійким вузлом.

Повернемося тепер на фазову площину х, у. Загальний якісний характер поведінки інтегральних кривих навколо стану рівноваги при цьому не змінюється, але дотичні до інтегральних кривих в особливій точці вже не збігатимуться з осями координат. Кут нахилу цих дотичних до осей координат визначається співвідношенням коефіцієнтіву виразах (5.33). Фазові траєкторії навколо стійкого і нестійкого вузлів на фазовій площині х, у, коли, дійсні й однакових знаків, показані на рис. 5.11.

Рисунок 5.10 – Особлива точка типу "вузол" на площині канонічних координат

Необхідно зазначити, що для багатьох екологічних систем характерний безколивальний перехід із довільного початкового стану в стаціонарний. Такі системи описуються диференціальними рівняннями, що мають своїм стаціонарним розв'язком стійку особливу точку типу "вузол".

Корені дійсні, але різних знаків

Перетворення від координат х, у до координатзнову дійсне. На площині ζ, η так само спостерігається канонічна система

теперрізних знаків. Рівняння кривих на фазовій площині має вигляд

(5.37)

Інтегруючи це рівняння, знаходимо

Цей вираз визначає сім'ю кривих гіперболічного типу, що мають обидві осі координат асимптотами (при а = 1 ми мали б сім'ю рівнобічних гіпербол). Осі координат у цьому разі – інтегральні криві; це будуть єдині інтегральні криві, що проходять через початок координат. Кожна з таких інтегральних прямих, що проходять через початок координат, складається з трьох фазових траєкторій системи рівнянь (5.33): із двох рухів до стану рівноваги (або від стану рівноваги) і зі стану рівноваги.

Рисунок 5.11 – Стійкий (а) і нестійкий (б) вузли на фазовій площині х, у

Початок координат буде єдиною особливою точкою даної сім'ї інтегральних кривих. Решта всіх інтегральних кривих – суть гіперболи. Така особлива точка, через яку проходять лише дві інтегральні криві, що є асимптотами (решта всіх інтегральних кривих, що мають вид гіпербол, через особливу точку не проходять), називається особливою точкою типу сідла (рис. 5.12).

Рисунок 5.12 – Особлива точка типу "сідло" на площині канонічних координат

Розглянемо характер руху відображуючої точки по фазових траєкторіях поблизу стану рівноваги. Нехай, наприклад, λι > 0, %ι < 0. Тоді відображальна точка, що лежить на осі ζ, віддалятиметься від початку координат, а та, що лежить на осі η, необмежено наближатиметься до початку координат, не досягаючи його в кінцевий час. Легко переконатися, розглядаючи рухи уявної точки, що де б вона не знаходилася в початковий момент (за винятком особливої точки і точок на асимптоті η = 0), вона врешті-решт віддалятиметься від стану рівноваги. Очевидно, особлива точка типу сідло завжди нестійка.

Лише під час руху по асимптоті η = 0 система наближатиметься до стану рівноваги. Проте цей спеціальний випадок руху до стану рівноваги не порушує твердження про те, що стан рівноваги у даному випадку нестійкий. Дійсно, за будь-яких початкових умов, що відрізняються від тих спеціально вибраних, які точно відповідають асимптоті η = 0, система віддалятиметься від стану рівноваги. Якщо вважати, що всі початкові стани рівноймовірні, ймовірність такого початкового стану, який відповідає руху у напрямку до особливої точки, дорівнює нулю.

Переходячи тепер назад до координат х, у, ми отримаємо ту саму якісну картину характеру траєкторій навколо початку координат (рис. 5.13).

Особливі точки типу "сідло" відіграють важливу роль в так званих "тригерних" екологічних системах, що мають три особливі точки: дві стійкі і одну нестійку – сідло, що лежить між ними. Залежно від того, по яку сторону від сепараіриси сідла знаходиться початковий стан системи, відображальна точка, потрапляє в область тяжіння тієї або іншої стійкої особливої точки.

Рисунок 5.13 – Особлива точка типу "сідло" на фазовій площині х, у

Корені комплексно-спряжені

Неважко бачити, що в цьому випадку при дійсних х та у ми матимемо комплексно-спряжені ζ, η. Проте вводячи ще одне проміжне перетворення, можна і в цьому випадку звести розгляд до дійсного лінійного однорідного перетворення. Візьмемо:

(5.38)

Де- дійсні величини. Перетворення ВІД x, у ДО u, v є при наших

припущеннях дійсним, лінійним, однорідним із детермінантом, що не дорівнює нулю. Із рівнянь (5.33) і (5.38) маємо:

звідки

(5.39)

Розділивши друге рівняння (5.39) на перше, отримаємо рівняння

(5.40)

яке легше інтегрується після переходу до полярної системи координат. У полярній системіпісля підстановкиотримаємо

звідки

Таким чином, на фазовій площині u, v розміщена сім'я логарифмічних спіралей, кожна з яких має асимптотичну точку на початку координат (рис. 5.14).

Рисунок 5.14 – Особлива точка типу "фокус" на площині координат u, v

Установимо характер руху відображальної точки по фазових траєкторіях. Помноживши перше з рівнянь (3.39) на и, друге – на v і додавши, отримуємо

НехайІ. Відображальна точка тоді безперервно наближається до початку координат, проте не досягаючи його за кінцевий час. Це означає, що всі фазові траєкторії відповідають коливальним, але загасаючим і таким, що наближаються до положення рівноваги рухам (за винятком "руху" по траєкторії u = 0, v = 0).

Особлива точка – асимптотична точка всіх інтегральних кривих, що мають вид спіралей, вкладених одна в одну, називається фокусом.

Подивимося, чи буде в даному випадку особлива точка типу фокусу стійкою. Уявна точка по всій интегральній кривій рухається, наближаючись до особливої точки, звідки випливає, що умова стійкості стану рівноваги виконується. Дійсно, ми завжди можемо вибрати таку область δ (подвійне штрихування), щоб уявна точка не вийшла за межі області ε (просте штрихування) (рис. 5.15).

У разі стійкого фокусу, як і у разі стійкого вузла, буде виконано не тільки умову стійкості за Ляпуновим, але і жорсткішу вимогу. Саме при будь- яких початкових відхиленнях система після достатньо тривалого проміжку часу повернеться як завгодно близько до положення рівноваги. Таку стійкість, при якій початкові відхилення не тільки не наростають, але, і навпаки, загасають, називають абсолютною стійкістю.

Якщо, то відображальна точка безперервно віддаляється від початку координат, і ми маємо справу із нестійким фокусом.

Рисунок 5.15 – Особлива точка типу "стійкий фокус" на фазовій площині X, у; області ε, δ ілюструють стійкість

При переході від площини и, V до початкової фазової площини х, у спіралі також залишаться спіралями, проте будуть деформовані. Особлива точка типу фокус є стаціонарним розв'язком рівнянь, що описують загасаючі коливання тих або інших характеристик екологічних систем.

При а і – 0 фазовими траєкторіями на площині u, ν будуть кола , яким на площині х, у відповідають еліпси

У цьому випадку через особливу точку х = 0, у = 0 не проходить жодна інтегральная крива. Така ізольована особлива точка, поблизу якої інтегральні криві ε замкнутими кривими, зокрема еліпси, що "вкладені" один в одного охоплюють особливу точку, називається центром (рис. 5.16).

Рисунок 5.16 – Особлива точка типу центр на фазовій площині х, у

Класичним прикладом системи, що мае своею особливою точкою центр, є система Вольтерра. Сформулюємо результата нашого дослідження. У лінійній системі, що розглядається в (5.24) у разі відсутності виродження (тобто при ad- ) можливі шість типів станів рівноваги залежно від характеру коренів характеристичного рівняння:

• 1. Стійкий вузол (λ1, λ2 дійсні і від'ємні).
• 2. Нестійкий вузол (λ1, λ2 дійсні і додатні).
• 3. Сідло (λ1, λ2 дійсні і різних знаків).
• 4. Стійкий фокус (λ1, λ2 комплексні і ReX < 0).
• 5. Нестійкий фокус (λ1, λ2 комплексні і ReX >0).
• 6. Центр (λ1, λ2 уявні).

Для ілюстрації застосування теорії лінійних диференціальних рівнянь розглянемо просту систему хімічних реакцій

Речовина X притікає зовні із постійною швидкістю, перетворюється на речовину у і зі швидкістю, пропорційною концентрації речовини у, виводиться із сфери реакції. Усі реакції мають перший порядок, за винятком процесу припливу речовини зовні, що має нульовий порядок. Запишемо відповідну систему рівнянь:

(5.41)

Координати особливої точки, тобто стаціонарні концентрації речовин х і у, отримаємо, прирівнявши до нуля праві частини рівнянь системи (5.41):

(5.42)

Характер стійкості особливої точки встановимо, використовуючи метод, описаний у попередніх параграфах цього розділу.

Запишемо характеристичне рівняння системи (5.41): або розкриваючи визначник

Корені характеристичного рівняння

завжди обидва дійсні, тому що дискримінант виразу

додатний при будь-яких значеннях параметрів. Легко бачити, щозавжди менший, ніж, тобто корені характеристичного рівняння обидва від'ємні. Отже, стаціонарний стан (3.42) системи рівнянь (3.41) є особливою точкою типу стійкий вузол, тобто при будь-яких початкових значеннях концентрацій після закінчення досить тривалого часу їх значення набудуть величини, скільки завгодно близької до (3.42). При цьому концентрація речовин х наближається до свого стаціонарного стану завжди монотонно, концентрація речовини у може за певних початкових умов проходити через max або min. Коливальні режими в такій системі неможливі.