< Попер   ЗМІСТ   Наст >

Вероятностные распределения

Наиболее частыми (как обычно считается), универсальными законами распределения случайных величин, встречаемыми в различных естественнонаучных исследованиях, является нормальный закон - распределение Гаусса и так называемое логнормальное распределение (рис. 3.4.1):

Частая встречаемость нормального закона объясняется тем, что когда распределение случайной величины связано с суммой независимых процессов, распределение приближается к нормальному. Именно это утверждение и является содержанием центральной предельной теоремы теории вероятности. Заметим, что часто в конкретных исследованиях гауссово распределение случайной величины принимается в силу привычки или удобства.

Графики нормального и логнормального распределения. Среднее значение для нормального распределения выбрано равным нулю

Рис. 3.4.1 - Графики нормального и логнормального распределения. Среднее значение для нормального распределения выбрано равным нулю

Б. Мандельброт был одним из первых, кто обратил пристальное внимание на то, что не менее универсальным, часто встречаемым законом распределения случайной величины является степенное (часто говорят гиперболическое) распределение с плотностью вероятности:

или

где

- вероятность того, что

некоторые положительные константы, параметры распределения.

Соответственно,

Следует отметить, что приведенное выше распределение рассматривалось Мандельбротом как уточнение закона Ципфа и его часто называют распределением Ципфа-Мандельброта. При этом оказалось, что а - близкая к единице величина, которая может изменяться в зависимости от свойств текста и языка.

Справедливости ради, надо отметить, что степенные функции распределения рассматривались еще Коши. Как наглядный пример распределения Коши можно привести модель стрельбы из вращающегося с постоянной угловой скоростью ш в горизонтальной плоскости пулемета (рис. 3.4.3).

Пример распределения Коши

Рис. 3.4.2. - Пример распределения Коши

Если, производя одиночные выстрелы, нажимать на курок равновероятно при любом его положении, то функция распределения выстрелов по углу - у будет величиной

постоянной:

С другой стороны, вероятность попадания в бесконечно малый участок ёх бесконечной

плоской мишени равна

. Откуда, с учетом после элементарных преобразований находим

распределение Коши:

Так как для этой функции среднее

не определено длято ни математическое ожидание (т.е. среднее от

ни дисперсия ни моменты старших порядков этого распределения не определены. В этом случае говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Напомним, частный случай степенного распределения -гиперболическое распределение А / х названо в честь В. Парето, а дискретный закон распределения с ранжированной переменной был назван в честь Дж. Ципфа, который сформулировал его для описания частоты употребления слов.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >