< Попер   ЗМІСТ   Наст >

Корреляционный и фрактальный анализ

Понятие фрактала

Термин фрактал был предложен Бенуа Мандельбротом (B. Mandelbrot) в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных математических структур. Основное определение фрактала, данное Мандельбротом, звучало так:

"Фракталом называется структура, которая состоит из частей, которые в каком-то смысле подобны целому". Следует признать, что это определение, ввиду своей нестрогости, не всегда верно. Можно привести много примеров самоподобных объектов, не являющихся фракталами, например, картина сходящихя к горизонту железнодорожных путей.

В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале. Строгое определение самоподобных множеств было дано Дж. Хатчинсоном (J. Hutchinson) в 1981 году. Он назвал множество самоподобным, если оно состоит из нескольких компонент, подобных всему этому множеству, т.е. компонент получаемых афинными преобразованиями - поворотом, сжатием и отражением исходного множества. Заметим, что такое строгое определение малопродуктивно. Во многих случаях исследуются подмножества, в которых компонента подобия всему множеству только приближенная, да и в самом множестве Мандельброта компоненты только похожи (а иногда и не похожи) на все множество.

Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. -М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с. Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы. - М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. -256 с.

Однако самоподобие - это хотя и необходимое, но далеко не достаточное свойство фракталов. Ведь нельзя же, в самом деле, считать фракталом точку, или плоскость, расчерченную клетками. Главная особенность фрактальных объектов состоит в том, что для их описания недостаточно "стандартной" топологической размерности с/т, которая, как известно, для линии равна 1 (ёх = 1 - линия одномерный объект), для поверхности ёх= 2 , и т.д. Фракталам характерна геометрическая "изрезанность".

Поэтому используется специальное понятие фрактальной размерности, введенное Ф. Хаусдорфом (F.Hausdorf) и А.С. Безиковичем. Применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии (линии, плоскости...) она давала те же численные значения, что и топологическая размерность, однако новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. Размерность Хаусдорфа-Безиковича как раз и позволяет измерять степень "изрезанности". Размерность фрактальных объектов не является целым числом, характерным для привычных геометрических объектов. Вместе с тем, в большинстве случаев фракталы напоминают объекты, плотно занимающие реальное пространство, но не использующие его полностью.

Пусть есть множество С в евклидовом пространстве размерности ёх. Это множество покрывается кубиками размерности ёх, при этом длина ребра любого кубика не превышает некоторого значения 5, т.е.

Вводится зависящая от некоторого параметра ё и б сумма по всем элементам покрытия:

Определим нижнюю грань данной суммы:

При уменьшении максимальной длины δ, если параметр d будет достаточно велик, очевидно, будет выполняться:

При некотором достаточно малом значении параметра d будет выполняться:

Промежуточное, критическое значение dx.

Для которого выполняется:

и называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича (или фрактальной размерностью). Для простых геометрических объектов размерность Хаусдорфа-Безиковича совпадает с топологической (для отрезка dx=1 для квадрата dx=2 для куба dx=3 и т.д.)

Несмотря на то, что размерность Хаусдорфа-Безиковича с теоретической точки зрения определена безупречно, для реальных фрактальных объектов расчет этой размерности является весьма затруднительным. Поэтому вводится несколько упрощенный показатель -емкостная размерность dc

Гринченко В. Т. , Мацыпура В. Т., Снарский А. А. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы. - М.: ЛКИ, 2007. - 264 с.

При определении этой размерности используются кубы (квадраты, отрезки ...) с гранями одинакового размера. В этом случае, естественно, справедливо:

Где количество кубиков, покрывающего область Є.

Путем логарифмирования и перехода к пределу при уменьшении грани кубика (б ® 0) получаем:

если этот предел существует. Следует отметить, что в большинстве численных методов определения фрактальной размерности используется именно dc при этом необходимо учитывать, что всегда справедливо условие:

Для регулярных самоподобных фракталов емкостная размерность и размерность Хаусдорфа-Безиковича совпадают, поэтому терминологически их часто не различают и говорят просто о фрактальной размерности объекта.

При проведении практических вычислений фрактальной размерности для реальных объектов используют следующий методический прием. Пусть на некотором этапе

покрытия фрактала пришлось использовать кубиков с гранями размера элементов с гранями размера

Ввиду предполагаемой степенной зависимости справедливо:

откуда значение (1с может оцениваться как:

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >