Приклади розрахунків максимальних і сумарних збитків від природних катастроф

Описану методику розрахунку збитків, спричинених повенями, землетрусами й ураганами за 1952–1991 pp., застосовано в [12], де збиток виражений числом жителів, що втратили домівку у результаті катастрофи. Відношення накопиченого ΣT і одиничного максимального збитку тT мало на 1991 р. значення 2,29, 6,44 і 4,5відповідно для повеней, ураганів і землетрусів. Кількість сильних катастроф зазначених типів, які залишили бездомними більш як 50 000 осіб за 40 років, становила відповідно 89, 68 і 45 подій.

Порівнявши наведені відношення ΣT/mT, з теоретичними значеннями R(T) з табл. 5.5, розрахованими за формулами (5.48), (5.50) і (5.51), отримаємо попередні висновки про характер досліджуваних розподілів і значення β. Для цього (для відповід-

Таблиця 5.5. Значення R(T) відношення сумарного збитку до максимального залежно від параметрів λT і β

них λΤ = п) треба підібрати таке значення β, за якого табличне значення R найточніше відповідає емпіричному відношенню сумарного і максимального збитків. Для аналізованих даних це буде: , де індексами “п”, “у” і “з” позначено повені, урагани і землетруси. При інтерпретації отриманих β слід враховувати, що емпіричне значення відношення сумарного і максимального збитків має випадковий компонент, тому β оцінюють з деякою похибкою.

Для порівняння визначимо параметри β для розподілу Парето, що апроксимують “важкі хвости” аналізованих розподілів. З цією метою у подвійному логарифмічному масштабі будують графіки “важких хвостів” зазначених розподілів, тобто залежність N (хi > х) від x, де N (xi > х) – число спостережень x1, ..., хn, що перевищують x. У разі повеней значення збитків добре вкладаються на прямій лінії. Для ураганів прямолінійне наближення в усьому діапазоні збитків не дотримується і виконується тільки для “хвоста розподілу” за значень х, більших від А = = 280 000. Для землетрусів за цими даними неможливо отримати надійні апроксимації їх законом Парето. Тому використано значення А = 200 000, але оцінка β вийшла ненадійною через мале число і великий розкид збитків, що перевищують обраний поріг. Значення β та його похибки для всіх трьох розподілів обчислені за формулами (5.38) і (5.39); у результаті отримано:

(5.65)

Таблиця 5.6. Результати розрахунку збитків для конкретних прикладів

Значення β доволі точно відповідають числам, знайденим на основі аналізу даних табл. 5.5, однак за другим способом. Зазначимо, що використані дані дають приклади усіх можливих типів β: β< 1; β > 1, β = 1.

Тепер визначимо медіани максимального збитку. З огляду на тривалість вихідних рядів даних, знайдемо μ, і μ20. Результати оцінок зведені в табл. 5.6. Для повеней характерні значення μ1 і μ20 розраховані на основі відповідного розподілу Парето за формулою (5.41). Для ураганів і землетрусів узгодження з розподілом Парето було гіршим, тому відповідні значення μ1 і μ20 оцінювали непараметричним способом, скориставшись тільки даними, більшими за зазначені вище граничні значення А.

Із порівняння μ1 і μ20 із табл. 5.6, видно, що для повеней спостерігається значний нелінійний ріст максимальних значень збитку. Для ураганів і землетрусів нелінійність істотно менша, якщо взагалі має місце. Таке розходження відповідає різниці значень параметра β – для ураганів і землетрусів β = 1 або навіть β > 1.

В останніх двох стовпчиках табл. 5.6 наведено оцінки сумарного збитку за 20 років, а також ті, що спостерігалися реально. Збіг оцінок і вибіркового (випадкового) значення збитку більш ніж задовільний.

Отже, проблема отримання стійких порівняльних характеристик збитків від природних катастроф у цій методиці вирішена на основі використання порядкових статистик.